Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18562 / 18562
↖ ↑ ↗
← S 23.261534°
E 23.928223°		 ← 1 122.33 m → S 23.261534°
E 23.939209°		 →
↑
1 122.25 m
↓
↑
1 122.25 m
↓
S 23.271627°
E 23.928223°		 ← 1 122.25 m →
1 259 494 m²		 S 23.271627°
E 23.939209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566482543945312 y=0.566482543945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566482543945312 × 215)
    floor (0.566482543945312 × 32768)
    floor (18562.5)     		tx = 18562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.566482543945312 × 215)
    floor (0.566482543945312 × 32768)
    floor (18562.5)     		ty = 18562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18562 / 18562 ti = "15/18562/18562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18562/18562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18562 ÷ 215
    18562 ÷ 32768     		x = 0.56646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18562 ÷ 215
    18562 ÷ 32768     		y = 0.56646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    0.1329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41762627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    -0.1329345703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.417626269489929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41762627} λ = 0.41762627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.417626269489929))-π/2
    2×atan(0.658608324460202)-π/2
    2×0.58240298325759-π/2
    1.16480596651518-1.57079632675     		φ = -0.40599036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41762627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40599036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.261534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18562 KachelY 18562 0.41762627 -0.40599036 23.928223 -23.261534
    Oben rechts KachelX + 1 18563 KachelY 18562 0.41781802 -0.40599036 23.939209 -23.261534
    Unten links KachelX 18562 KachelY + 1 18563 0.41762627 -0.40616651 23.928223 -23.271627
    Unten rechts KachelX + 1 18563 KachelY + 1 18563 0.41781802 -0.40616651 23.939209 -23.271627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40599036--0.40616651) × R
    0.000176149999999986 × 6371000     		dl = 1122.25164999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40599036--0.40616651) × R
    0.000176149999999986 × 6371000     		dr = 1122.25164999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41762627-0.41781802) × cos(-0.40599036) × R
    0.000191749999999991 × 0.918711726076322 × 6371000     		do = 1122.33430401003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41762627-0.41781802) × cos(-0.40616651) × R
    0.000191749999999991 × 0.918642145113662 × 6371000     		du = 1122.24930117499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40599036)-sin(-0.40616651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918711726076322-0.918642145113662)×R²
    abs(0.41781802-0.41762627)×6.95809626598543e-05×R²
    0.000191749999999991×6.95809626598543e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.95809626598543e-05×40589641000000     		ar = 1259493.83049777m²