Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1858 / 834
↖ ↑ ↗
← N 31.653381°
E146.601562°		 ← 16.638 km → N 31.653381°
E146.777344°		 →
↑
16.652 km
↓
↑
16.652 km
↓
N 31.503629°
E146.601562°		 ← 16.665 km →
277.278 km²		 N 31.503629°
E146.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.907470703125 y=0.407470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.907470703125 × 211)
    floor (0.907470703125 × 2048)
    floor (1858.5)     		tx = 1858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407470703125 × 211)
    floor (0.407470703125 × 2048)
    floor (834.5)     		ty = 834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1858 / 834 ti = "11/1858/834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1858/834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1858 ÷ 211
    1858 ÷ 2048     		x = 0.9072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 834 ÷ 211
    834 ÷ 2048     		y = 0.4072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    0.814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55867995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4072265625 × 2 - 1) × π
    0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55867995} λ = 2.55867995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.582912699379883))-π/2
    2×atan(1.79124820735307)-π/2
    2×1.06162602579719-π/2
    2.12325205159438-1.57079632675     		φ = 0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55867995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1858 KachelY 834 2.55867995 0.55245572 146.601562 31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 1859 KachelY 834 2.56174792 0.55245572 146.777344 31.653381
    Unten links KachelX 1858 KachelY + 1 835 2.55867995 0.54984206 146.601562 31.503629
    Unten rechts KachelX + 1 1859 KachelY + 1 835 2.56174792 0.54984206 146.777344 31.503629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55245572-0.54984206) × R
    0.00261365999999996 × 6371000     		dl = 16651.6278599998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55245572-0.54984206) × R
    0.00261365999999996 × 6371000     		dr = 16651.6278599998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55867995-2.56174792) × cos(0.55245572) × R
    0.00306797000000003 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 16638.3367463439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55867995-2.56174792) × cos(0.54984206) × R
    0.00306797000000003 × 0.852607064646969 × 6371000     		du = 16665.0891212123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55245572)-sin(0.54984206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.852607064646969)×R²
    abs(2.56174792-2.55867995)×0.00136868537833734×R²
    0.00306797000000003×0.00136868537833734×6371000²
    0.00306797000000003×0.00136868537833734×40589641000000     		ar = 277278284.850544m²