Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1860 / 836
↖ ↑ ↗
← N 31.353637°
E146.953125°		 ← 16.692 km → N 31.353637°
E147.128906°		 →
↑
16.705 km
↓
↑
16.705 km
↓
N 31.203405°
E146.953125°		 ← 16.718 km →
279.059 km²		 N 31.203405°
E147.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.908447265625 y=0.408447265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.908447265625 × 211)
    floor (0.908447265625 × 2048)
    floor (1860.5)     		tx = 1860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408447265625 × 211)
    floor (0.408447265625 × 2048)
    floor (836.5)     		ty = 836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1860 / 836 ti = "11/1860/836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1860/836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1860 ÷ 211
    1860 ÷ 2048     		x = 0.908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 836 ÷ 211
    836 ÷ 2048     		y = 0.408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.908203125 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.56481588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408203125 × 2 - 1) × π
    0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.56481588} λ = 2.56481588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.576776776228516))-π/2
    2×atan(1.78029089699302)-π/2
    2×1.05901026194247-π/2
    2.11802052388494-1.57079632675     		φ = 0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.56481588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1860 KachelY 836 2.56481588 0.54722420 146.953125 31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 1861 KachelY 836 2.56788384 0.54722420 147.128906 31.353637
    Unten links KachelX 1860 KachelY + 1 837 2.56481588 0.54460215 146.953125 31.203405
    Unten rechts KachelX + 1 1861 KachelY + 1 837 2.56788384 0.54460215 147.128906 31.203405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54722420-0.54460215) × R
    0.00262205000000004 × 6371000     		dl = 16705.0805500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54722420-0.54460215) × R
    0.00262205000000004 × 6371000     		dr = 16705.0805500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.56481588-2.56788384) × cos(0.54722420) × R
    0.00306796000000009 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 16691.7159615775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.56481588-2.56788384) × cos(0.54460215) × R
    0.00306796000000009 × 0.855333475735648 × 6371000     		du = 16718.325159579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54722420)-sin(0.54460215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.855333475735648)×R²
    abs(2.56788384-2.56481588)×0.00136136470584902×R²
    0.00306796000000009×0.00136136470584902×6371000²
    0.00306796000000009×0.00136136470584902×40589641000000     		ar = 279058873.934771m²