Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18624 / 18368
↖ ↑ ↗
← S 21.289374°
E 24.609375°		 ← 1 138.27 m → S 21.289374°
E 24.620361°		 →
↑
1 138.18 m
↓
↑
1 138.18 m
↓
S 21.299610°
E 24.609375°		 ← 1 138.19 m →
1 295 513 m²		 S 21.299610°
E 24.620361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.568374633789062 y=0.560562133789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.568374633789062 × 215)
    floor (0.568374633789062 × 32768)
    floor (18624.5)     		tx = 18624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.560562133789062 × 215)
    floor (0.560562133789062 × 32768)
    floor (18368.5)     		ty = 18368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18624 / 18368 ti = "15/18624/18368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18624/18368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18624 ÷ 215
    18624 ÷ 32768     		x = 0.568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18368 ÷ 215
    18368 ÷ 32768     		y = 0.560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.568359375 × 2 - 1) × π
    0.13671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42951462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.560546875 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.380427235384766
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42951462} λ = 0.42951462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.380427235384766))-π/2
    2×atan(0.683569301823814)-π/2
    2×0.599613324302808-π/2
    1.19922664860562-1.57079632675     		φ = -0.37156968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42951462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.609375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.37156968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.289374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18624 KachelY 18368 0.42951462 -0.37156968 24.609375 -21.289374
    Oben rechts KachelX + 1 18625 KachelY 18368 0.42970637 -0.37156968 24.620361 -21.289374
    Unten links KachelX 18624 KachelY + 1 18369 0.42951462 -0.37174833 24.609375 -21.299610
    Unten rechts KachelX + 1 18625 KachelY + 1 18369 0.42970637 -0.37174833 24.620361 -21.299610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.37156968--0.37174833) × R
    0.000178650000000002 × 6371000     		dl = 1138.17915000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.37156968--0.37174833) × R
    0.000178650000000002 × 6371000     		dr = 1138.17915000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42951462-0.42970637) × cos(-0.37156968) × R
    0.000191749999999991 × 0.931758576749633 × 6371000     		do = 1138.27284888143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42951462-0.42970637) × cos(-0.37174833) × R
    0.000191749999999991 × 0.93169369791749 × 6371000     		du = 1138.19359035359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.37156968)-sin(-0.37174833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.931758576749633-0.93169369791749)×R²
    abs(0.42970637-0.42951462)×6.48788321425675e-05×R²
    0.000191749999999991×6.48788321425675e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.48788321425675e-05×40589641000000     		ar = 1295513.32185143m²