Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 18688 / 116992
↖ ↑ ↗
← S 80.297927°
W128.671875°		 ← 51.46 m → S 80.297927°
W128.669129°		 →
↑
51.48 m
↓
↑
51.48 m
↓
S 80.298390°
W128.671875°		 ← 51.46 m →
2 649 m²		 S 80.298390°
W128.669129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.142581939697266 y=0.892581939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.142581939697266 × 217)
    floor (0.142581939697266 × 131072)
    floor (18688.5)     		tx = 18688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.892581939697266 × 217)
    floor (0.892581939697266 × 131072)
    floor (116992.5)     		ty = 116992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 18688 / 116992 ti = "17/18688/116992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/18688/116992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18688 ÷ 217
    18688 ÷ 131072     		x = 0.142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116992 ÷ 217
    116992 ÷ 131072     		y = 0.892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.142578125 × 2 - 1) × π
    -0.71484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.24574787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.892578125 × 2 - 1) × π
    -0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.24574787} λ = -2.24574787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46664110684961))-π/2
    2×atan(0.0848694481898644)-π/2
    2×0.0846665577565924-π/2
    0.169333115513185-1.57079632675     		φ = -1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.24574787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18688 KachelY 116992 -2.24574787 -1.40146321 -128.671875 -80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 18689 KachelY 116992 -2.24569994 -1.40146321 -128.669129 -80.297927
    Unten links KachelX 18688 KachelY + 1 116993 -2.24574787 -1.40147129 -128.671875 -80.298390
    Unten rechts KachelX + 1 18689 KachelY + 1 116993 -2.24569994 -1.40147129 -128.669129 -80.298390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40146321--1.40147129) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dl = 51.4776799997827m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40146321--1.40147129) × R
    8.07999999996589e-06 × 6371000     		dr = 51.4776799997827m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.24574787--2.24569994) × cos(-1.40146321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 51.4611487987508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.24574787--2.24569994) × cos(-1.40147129) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.168517077126682 × 6371000     		du = 51.4587167611016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40146321)-sin(-1.40147129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.168517077126682)×R²
    abs(-2.24569994--2.24574787)×7.96444027173493e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.96444027173493e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.96444027173493e-06×40589641000000     		ar = 2649.03795245206m²