Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18688 / 18688
↖ ↑ ↗
← S 24.527135°
E 25.312500°		 ← 1 111.35 m → S 24.527135°
E 25.323486°		 →
↑
1 111.36 m
↓
↑
1 111.36 m
↓
S 24.537130°
E 25.312500°		 ← 1 111.26 m →
1 235 054 m²		 S 24.537130°
E 25.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570327758789062 y=0.570327758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570327758789062 × 215)
    floor (0.570327758789062 × 32768)
    floor (18688.5)     		tx = 18688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570327758789062 × 215)
    floor (0.570327758789062 × 32768)
    floor (18688.5)     		ty = 18688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18688 / 18688 ti = "15/18688/18688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18688/18688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18688 ÷ 215
    18688 ÷ 32768     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18688 ÷ 215
    18688 ÷ 32768     		y = 0.5703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5703125 × 2 - 1) × π
    -0.140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441786466898437))-π/2
    2×atan(0.642886898433291)-π/2
    2×0.571358534035749-π/2
    1.1427170680715-1.57079632675     		φ = -0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18688 KachelY 18688 0.44178647 -0.42807926 25.312500 -24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 18689 KachelY 18688 0.44197821 -0.42807926 25.323486 -24.527135
    Unten links KachelX 18688 KachelY + 1 18689 0.44178647 -0.42825370 25.312500 -24.537130
    Unten rechts KachelX + 1 18689 KachelY + 1 18689 0.44197821 -0.42825370 25.323486 -24.537130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42807926--0.42825370) × R
    0.000174439999999998 × 6371000     		dl = 1111.35723999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42807926--0.42825370) × R
    0.000174439999999998 × 6371000     		dr = 1111.35723999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44197821) × cos(-0.42807926) × R
    0.000191739999999996 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 1111.3463937414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44197821) × cos(-0.42825370) × R
    0.000191739999999996 × 0.909692344813042 × 6371000     		du = 1111.25791734883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42807926)-sin(-0.42825370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.909692344813042)×R²
    abs(0.44197821-0.44178647)×7.24280977093539e-05×R²
    0.000191739999999996×7.24280977093539e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.24280977093539e-05×40589641000000     		ar = 1235053.6995244m²