Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18689 / 18687
↖ ↑ ↗
← S 24.517140°
E 25.323486°		 ← 1 111.49 m → S 24.517140°
E 25.334473°		 →
↑
1 111.42 m
↓
↑
1 111.42 m
↓
S 24.527135°
E 25.323486°		 ← 1 111.40 m →
1 235 287 m²		 S 24.527135°
E 25.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570358276367188 y=0.570297241210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570358276367188 × 215)
    floor (0.570358276367188 × 32768)
    floor (18689.5)     		tx = 18689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570297241210938 × 215)
    floor (0.570297241210938 × 32768)
    floor (18687.5)     		ty = 18687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18689 / 18687 ti = "15/18689/18687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18689/18687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18689 ÷ 215
    18689 ÷ 32768     		x = 0.570343017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18687 ÷ 215
    18687 ÷ 32768     		y = 0.570281982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570343017578125 × 2 - 1) × π
    0.14068603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44197821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.570281982421875 × 2 - 1) × π
    -0.14056396484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.441594719299957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44197821} λ = 0.44197821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.441594719299957))-π/2
    2×atan(0.643010182271472)-π/2
    2×0.571445760112061-π/2
    1.14289152022412-1.57079632675     		φ = -0.42790481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44197821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.323486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42790481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.517140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18689 KachelY 18687 0.44197821 -0.42790481 25.323486 -24.517140
    Oben rechts KachelX + 1 18690 KachelY 18687 0.44216996 -0.42790481 25.334473 -24.517140
    Unten links KachelX 18689 KachelY + 1 18688 0.44197821 -0.42807926 25.323486 -24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 18690 KachelY + 1 18688 0.44216996 -0.42807926 25.334473 -24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42790481--0.42807926) × R
    0.000174449999999993 × 6371000     		dl = 1111.42094999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42790481--0.42807926) × R
    0.000174449999999993 × 6371000     		dr = 1111.42094999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44197821-0.44216996) × cos(-0.42790481) × R
    0.000191749999999991 × 0.909837177474598 × 6371000     		do = 1111.49280711213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44197821-0.44216996) × cos(-0.42807926) × R
    0.000191749999999991 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 1111.40435485506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42790481)-sin(-0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909837177474598-0.909764772910752)×R²
    abs(0.44216996-0.44197821)×7.24045638461623e-05×R²
    0.000191749999999991×7.24045638461623e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.24045638461623e-05×40589641000000     		ar = 1235287.24088569m²