Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18690 / 18690
↖ ↑ ↗
← S 24.547123°
E 25.334473°		 ← 1 111.23 m → S 24.547123°
E 25.345459°		 →
↑
1 111.17 m
↓
↑
1 111.17 m
↓
S 24.557116°
E 25.334473°		 ← 1 111.14 m →
1 234 709 m²		 S 24.557116°
E 25.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570388793945312 y=0.570388793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570388793945312 × 215)
    floor (0.570388793945312 × 32768)
    floor (18690.5)     		tx = 18690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.570388793945312 × 215)
    floor (0.570388793945312 × 32768)
    floor (18690.5)     		ty = 18690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18690 / 18690 ti = "15/18690/18690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18690/18690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18690 ÷ 215
    18690 ÷ 32768     		x = 0.57037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18690 ÷ 215
    18690 ÷ 32768     		y = 0.57037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    0.1407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44216996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1407470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.442169962095398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44216996} λ = 0.44216996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.442169962095398))-π/2
    2×atan(0.642640401663738)-π/2
    2×0.571184102713736-π/2
    1.14236820542747-1.57079632675     		φ = -0.42842812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44216996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42842812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.547123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18690 KachelY 18690 0.44216996 -0.42842812 25.334473 -24.547123
    Oben rechts KachelX + 1 18691 KachelY 18690 0.44236171 -0.42842812 25.345459 -24.547123
    Unten links KachelX 18690 KachelY + 1 18691 0.44216996 -0.42860253 25.334473 -24.557116
    Unten rechts KachelX + 1 18691 KachelY + 1 18691 0.44236171 -0.42860253 25.345459 -24.557116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42842812--0.42860253) × R
    0.000174409999999958 × 6371000     		dl = 1111.16610999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42842812--0.42860253) × R
    0.000174409999999958 × 6371000     		dr = 1111.16610999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44216996-0.44236171) × cos(-0.42842812) × R
    0.000191750000000046 × 0.90961989734285 × 6371000     		do = 1111.22736917526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44216996-0.44236171) × cos(-0.42860253) × R
    0.000191750000000046 × 0.909547426355896 × 6371000     		du = 1111.13883577311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42842812)-sin(-0.42860253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90961989734285-0.909547426355896)×R²
    abs(0.44236171-0.44216996)×7.24709869536211e-05×R²
    0.000191750000000046×7.24709869536211e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.24709869536211e-05×40589641000000     		ar = 1234709.00860361m²