Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 1872 / 336
↖ ↑ ↗
← N 76.184995°
E149.062500°		 ← 4 667.34 m → N 76.184995°
E149.238281°		 →
↑
4 674.28 m
↓
↑
4 674.28 m
↓
N 76.142959°
E149.062500°		 ← 4 681.26 m →
21 848 973 m²		 N 76.142959°
E149.238281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914306640625 y=0.164306640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914306640625 × 211)
    floor (0.914306640625 × 2048)
    floor (1872.5)     		tx = 1872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164306640625 × 211)
    floor (0.164306640625 × 2048)
    floor (336.5)     		ty = 336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1872 / 336 ti = "11/1872/336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1872/336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1872 ÷ 211
    1872 ÷ 2048     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 336 ÷ 211
    336 ÷ 2048     		y = 0.1640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1640625 × 2 - 1) × π
    0.671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11075756407031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11075756407031))-π/2
    2×atan(8.25449222331149)-π/2
    2×1.45023766909548-π/2
    2.90047533819095-1.57079632675     		φ = 1.32967901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32967901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.184995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1872 KachelY 336 2.60163142 1.32967901 149.062500 76.184995
    Oben rechts KachelX + 1 1873 KachelY 336 2.60469938 1.32967901 149.238281 76.184995
    Unten links KachelX 1872 KachelY + 1 337 2.60163142 1.32894533 149.062500 76.142959
    Unten rechts KachelX + 1 1873 KachelY + 1 337 2.60469938 1.32894533 149.238281 76.142959
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32967901-1.32894533) × R
    0.000733679999999959 × 6371000     		dl = 4674.27527999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32967901-1.32894533) × R
    0.000733679999999959 × 6371000     		dr = 4674.27527999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60469938) × cos(1.32967901) × R
    0.00306796000000009 × 0.238787770060559 × 6371000     		do = 4667.33934454008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60469938) × cos(1.32894533) × R
    0.00306796000000009 × 0.239500161671703 × 6371000     		du = 4681.26373185091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32967901)-sin(1.32894533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238787770060559-0.239500161671703)×R²
    abs(2.60469938-2.60163142)×0.000712391611144059×R²
    0.00306796000000009×0.000712391611144059×6371000²
    0.00306796000000009×0.000712391611144059×40589641000000     		ar = 21848973.1113362m²