Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18720 / 18720
↖ ↑ ↗
← S 24.846565°
E 25.664062°		 ← 1 108.56 m → S 24.846565°
E 25.675049°		 →
↑
1 108.49 m
↓
↑
1 108.49 m
↓
S 24.856534°
E 25.664062°		 ← 1 108.47 m →
1 228 778 m²		 S 24.856534°
E 25.675049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571304321289062 y=0.571304321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571304321289062 × 215)
    floor (0.571304321289062 × 32768)
    floor (18720.5)     		tx = 18720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.571304321289062 × 215)
    floor (0.571304321289062 × 32768)
    floor (18720.5)     		ty = 18720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18720 / 18720 ti = "15/18720/18720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18720/18720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18720 ÷ 215
    18720 ÷ 32768     		x = 0.5712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18720 ÷ 215
    18720 ÷ 32768     		y = 0.5712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    0.142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44792239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5712890625 × 2 - 1) × π
    -0.142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.447922390049805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44792239} λ = 0.44792239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.447922390049805))-π/2
    2×atan(0.638954271316832)-π/2
    2×0.568570976834074-π/2
    1.13714195366815-1.57079632675     		φ = -0.43365437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44792239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43365437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.846565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18720 KachelY 18720 0.44792239 -0.43365437 25.664062 -24.846565
    Oben rechts KachelX + 1 18721 KachelY 18720 0.44811414 -0.43365437 25.675049 -24.846565
    Unten links KachelX 18720 KachelY + 1 18721 0.44792239 -0.43382836 25.664062 -24.856534
    Unten rechts KachelX + 1 18721 KachelY + 1 18721 0.44811414 -0.43382836 25.675049 -24.856534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43365437--0.43382836) × R
    0.000173990000000013 × 6371000     		dl = 1108.49029000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43365437--0.43382836) × R
    0.000173990000000013 × 6371000     		dr = 1108.49029000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44792239-0.44811414) × cos(-0.43365437) × R
    0.000191749999999991 × 0.907436283562814 × 6371000     		do = 1108.55978087441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44792239-0.44811414) × cos(-0.43382836) × R
    0.000191749999999991 × 0.90736316102058 × 6371000     		du = 1108.47045150676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43365437)-sin(-0.43382836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907436283562814-0.90736316102058)×R²
    abs(0.44811414-0.44792239)×7.31225422344606e-05×R²
    0.000191749999999991×7.31225422344606e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.31225422344606e-05×40589641000000     		ar = 1228778.24571564m²