Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18944 / 18944
↖ ↑ ↗
← S 27.059126°
E 28.125000°		 ← 1 087.92 m → S 27.059126°
E 28.135986°		 →
↑
1 087.85 m
↓
↑
1 087.85 m
↓
S 27.068909°
E 28.125000°		 ← 1 087.82 m →
1 183 435 m²		 S 27.068909°
E 28.135986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578140258789062 y=0.578140258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578140258789062 × 215)
    floor (0.578140258789062 × 32768)
    floor (18944.5)     		tx = 18944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.578140258789062 × 215)
    floor (0.578140258789062 × 32768)
    floor (18944.5)     		ty = 18944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18944 / 18944 ti = "15/18944/18944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18944/18944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18944 ÷ 215
    18944 ÷ 32768     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18944 ÷ 215
    18944 ÷ 32768     		y = 0.578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578125 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Φ = -0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490873852109375))-π/2
    2×atan(0.612091283155602)-π/2
    2×0.549262744579385-π/2
    1.09852548915877-1.57079632675     		φ = -0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18944 KachelY 18944 0.49087385 -0.47227084 28.125000 -27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 18945 KachelY 18944 0.49106560 -0.47227084 28.135986 -27.059126
    Unten links KachelX 18944 KachelY + 1 18945 0.49087385 -0.47244159 28.125000 -27.068909
    Unten rechts KachelX + 1 18945 KachelY + 1 18945 0.49106560 -0.47244159 28.135986 -27.068909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47227084--0.47244159) × R
    0.000170749999999997 × 6371000     		dl = 1087.84824999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47227084--0.47244159) × R
    0.000170749999999997 × 6371000     		dr = 1087.84824999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(-0.47227084) × R
    0.000191749999999991 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 1087.91563445977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(-0.47244159) × R
    0.000191749999999991 × 0.890459869189236 × 6371000     		du = 1087.82072675138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47227084)-sin(-0.47244159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.890459869189236)×R²
    abs(0.49106560-0.49087385)×7.76888172054901e-05×R²
    0.000191749999999991×7.76888172054901e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.76888172054901e-05×40589641000000     		ar = 1183435.49937785m²