Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18944 / 2560
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
E 28.125000°		 ← 171.64 m → N 81.923187°
E 28.135986°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
N 81.921642°
E 28.125000°		 ← 171.67 m →
29 473 m²		 N 81.921642°
E 28.135986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.578140258789062 y=0.0781402587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.578140258789062 × 215)
    floor (0.578140258789062 × 32768)
    floor (18944.5)     		tx = 18944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0781402587890625 × 215)
    floor (0.0781402587890625 × 32768)
    floor (2560.5)     		ty = 2560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18944 / 2560 ti = "15/18944/2560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18944/2560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18944 ÷ 215
    18944 ÷ 32768     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2560 ÷ 215
    2560 ÷ 32768     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18944 KachelY 2560 0.49087385 1.42982934 28.125000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 18945 KachelY 2560 0.49106560 1.42982934 28.135986 81.923187
    Unten links KachelX 18944 KachelY + 1 2561 0.49087385 1.42980239 28.125000 81.921642
    Unten rechts KachelX + 1 18945 KachelY + 1 2561 0.49106560 1.42980239 28.135986 81.921642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.42980239) × R
    2.6949999999859e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.42980239) × R
    2.6949999999859e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(1.42982934) × R
    0.000191749999999991 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 171.641017124508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.49106560) × cos(1.42980239) × R
    0.000191749999999991 × 0.140527257667677 × 6371000     		du = 171.673613661689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.42980239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.140527257667677)×R²
    abs(0.49106560-0.49087385)×2.66826210608695e-05×R²
    0.000191749999999991×2.66826210608695e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.66826210608695e-05×40589641000000     		ar = 29473.2949862545m²