Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
5 / 19 / 3
↖ ↑ ↗
← N 81.093214°
E 33.750000°		 ← 193.680 km → N 81.093214°
E 45.000000°		 →
↑
213.703 km
↓
↑
213.703 km
↓
N 79.171334°
E 33.750000°		 ← 235.018 km →
45 811.4 km²		 N 79.171334°
E 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609375 y=0.109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609375 × 25)
    floor (0.609375 × 32)
    floor (19.5)     		tx = 19
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109375 × 25)
    floor (0.109375 × 32)
    floor (3.5)     		ty = 3
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 19 / 3 ti = "5/19/3"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/19/3.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19 ÷ 25
    19 ÷ 32     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3 ÷ 25
    3 ÷ 32     		y = 0.09375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09375 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55254403096875))-π/2
    2×atan(12.8397269308608)-π/2
    2×1.49306995476775-π/2
    2.98613990953549-1.57079632675     		φ = 1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19 KachelY 3 0.58904862 1.41534358 33.750000 81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 20 KachelY 3 0.78539816 1.41534358 45.000000 81.093214
    Unten links KachelX 19 KachelY + 1 4 0.58904862 1.38180046 33.750000 79.171334
    Unten rechts KachelX + 1 20 KachelY + 1 4 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41534358-1.38180046) × R
    0.03354312 × 6371000     		dl = 213703.21752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41534358-1.38180046) × R
    0.03354312 × 6371000     		dr = 213703.21752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.78539816) × cos(1.41534358) × R
    0.19634954 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 193680.242886374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.78539816) × cos(1.38180046) × R
    0.19634954 × 0.187872736870527 × 6371000     		du = 235018.069925213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41534358)-sin(1.38180046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.187872736870527)×R²
    abs(0.78539816-0.58904862)×0.0330453343631766×R²
    0.19634954×0.0330453343631766×6371000²
    0.19634954×0.0330453343631766×40589641000000     		ar = 45811399833.7999m²