Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 191 / 319
↖ ↑ ↗
← S 40.446947°
W 45.703125°		 ← 59.499 km → S 40.446947°
W 45.000000°		 →
↑
59.261 km
↓
↑
59.261 km
↓
S 40.979898°
W 45.703125°		 ← 59.024 km →
3 511.94 km²		 S 40.979898°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3740234375 y=0.6240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3740234375 × 29)
    floor (0.3740234375 × 512)
    floor (191.5)     		tx = 191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6240234375 × 29)
    floor (0.6240234375 × 512)
    floor (319.5)     		ty = 319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 191 / 319 ti = "9/191/319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/191/319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 191 ÷ 29
    191 ÷ 512     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 319 ÷ 29
    319 ÷ 512     		y = 0.623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773126317072266))-π/2
    2×atan(0.461567803007033)-π/2
    2×0.432431964120923-π/2
    0.864863928241845-1.57079632675     		φ = -0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 191 KachelY 319 -0.79767001 -0.70593240 -45.703125 -40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 192 KachelY 319 -0.78539816 -0.70593240 -45.000000 -40.446947
    Unten links KachelX 191 KachelY + 1 320 -0.79767001 -0.71523415 -45.703125 -40.979898
    Unten rechts KachelX + 1 192 KachelY + 1 320 -0.78539816 -0.71523415 -45.000000 -40.979898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70593240--0.71523415) × R
    0.00930175 × 6371000     		dl = 59261.44925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70593240--0.71523415) × R
    0.00930175 × 6371000     		dr = 59261.44925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.78539816) × cos(-0.70593240) × R
    0.0122718500000001 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 59498.5376045337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.78539816) × cos(-0.71523415) × R
    0.0122718500000001 × 0.754939707695381 × 6371000     		du = 59024.1731533378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70593240)-sin(-0.71523415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.754939707695381)×R²
    abs(-0.78539816--0.79767001)×0.00606728635056908×R²
    0.0122718500000001×0.00606728635056908×6371000²
    0.0122718500000001×0.00606728635056908×40589641000000     		ar = 3511939126.13984m²