Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 191 / 450
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
W 45.703125°		 ← 14.339 km → S 79.432371°
W 45.000000°		 →
↑
14.253 km
↓
↑
14.253 km
↓
S 79.560546°
W 45.703125°		 ← 14.167 km →
203.136 km²		 S 79.560546°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3740234375 y=0.8798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3740234375 × 29)
    floor (0.3740234375 × 512)
    floor (191.5)     		tx = 191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8798828125 × 29)
    floor (0.8798828125 × 512)
    floor (450.5)     		ty = 450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 191 / 450 ti = "9/191/450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/191/450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 191 ÷ 29
    191 ÷ 512     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 450 ÷ 29
    450 ÷ 512     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 191 KachelY 450 -0.79767001 -1.38635640 -45.703125 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 192 KachelY 450 -0.78539816 -1.38635640 -45.000000 -79.432371
    Unten links KachelX 191 KachelY + 1 451 -0.79767001 -1.38859349 -45.703125 -79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 192 KachelY + 1 451 -0.78539816 -1.38859349 -45.000000 -79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38859349) × R
    0.00223709000000016 × 6371000     		dl = 14252.500390001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38859349) × R
    0.00223709000000016 × 6371000     		dr = 14252.500390001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.78539816) × cos(-1.38635640) × R
    0.0122718500000001 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 14338.6239557527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.78539816) × cos(-1.38859349) × R
    0.0122718500000001 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 14166.650207968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.181196384390541)×R²
    abs(-0.78539816--0.79767001)×0.00219960405962172×R²
    0.0122718500000001×0.00219960405962172×6371000²
    0.0122718500000001×0.00219960405962172×40589641000000     		ar = 203135800.285073m²