Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1919 / 2433
↖ ↑ ↗
← S 32.026706°
W 11.337891°		 ← 8 285.55 m → S 32.026706°
W 11.250000°		 →
↑
8 282.17 m
↓
↑
8 282.17 m
↓
S 32.101189°
W 11.337891°		 ← 8 278.80 m →
68 594 417 m²		 S 32.101189°
W 11.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4686279296875 y=0.5941162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4686279296875 × 212)
    floor (0.4686279296875 × 4096)
    floor (1919.5)     		tx = 1919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5941162109375 × 212)
    floor (0.5941162109375 × 4096)
    floor (2433.5)     		ty = 2433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1919 / 2433 ti = "12/1919/2433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1919/2433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1919 ÷ 212
    1919 ÷ 4096     		x = 0.468505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2433 ÷ 212
    2433 ÷ 4096     		y = 0.593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.06298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19788352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.18798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.590582603319092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19788352} λ = -0.19788352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590582603319092))-π/2
    2×atan(0.554004425877011)-π/2
    2×0.505912426710652-π/2
    1.0118248534213-1.57079632675     		φ = -0.55897147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19788352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55897147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.026706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1919 KachelY 2433 -0.19788352 -0.55897147 -11.337891 -32.026706
    Oben rechts KachelX + 1 1920 KachelY 2433 -0.19634954 -0.55897147 -11.250000 -32.026706
    Unten links KachelX 1919 KachelY + 1 2434 -0.19788352 -0.56027145 -11.337891 -32.101189
    Unten rechts KachelX + 1 1920 KachelY + 1 2434 -0.19634954 -0.56027145 -11.250000 -32.101189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55897147--0.56027145) × R
    0.00129997999999998 × 6371000     		dl = 8282.17257999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55897147--0.56027145) × R
    0.00129997999999998 × 6371000     		dr = 8282.17257999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19788352--0.19634954) × cos(-0.55897147) × R
    0.00153398000000002 × 0.847801003712716 × 6371000     		do = 8285.54783179501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19788352--0.19634954) × cos(-0.56027145) × R
    0.00153398000000002 × 0.847110889306722 × 6371000     		du = 8278.80335296655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55897147)-sin(-0.56027145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847801003712716-0.847110889306722)×R²
    abs(-0.19634954--0.19788352)×0.000690114405994868×R²
    0.00153398000000002×0.000690114405994868×6371000²
    0.00153398000000002×0.000690114405994868×40589641000000     		ar = 68594417.2540414m²