Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 192 / 64
↖ ↑ ↗
← N 66.513260°
E 90.000000°		 ← 62.318 km → N 66.513260°
E 91.406250°		 →
↑
63.024 km
↓
↑
63.024 km
↓
N 65.946472°
E 90.000000°		 ← 63.734 km →
3 972.19 km²		 N 65.946472°
E 91.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.751953125 y=0.251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.751953125 × 28)
    floor (0.751953125 × 256)
    floor (192.5)     		tx = 192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.251953125 × 28)
    floor (0.251953125 × 256)
    floor (64.5)     		ty = 64
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 192 / 64 ti = "8/192/64"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/192/64.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 192 ÷ 28
    192 ÷ 256     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64 ÷ 28
    64 ÷ 256     		y = 0.25
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Φ = 1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57079632675))-π/2
    2×atan(4.81047738074938)-π/2
    2×1.3658358588729-π/2
    2.73167171774581-1.57079632675     		φ = 1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 192 KachelY 64 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 193 KachelY 64 1.59534002 1.16087539 91.406250 66.513260
    Unten links KachelX 192 KachelY + 1 65 1.57079633 1.15098306 90.000000 65.946472
    Unten rechts KachelX + 1 193 KachelY + 1 65 1.59534002 1.15098306 91.406250 65.946472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16087539-1.15098306) × R
    0.00989233 × 6371000     		dl = 63024.03443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16087539-1.15098306) × R
    0.00989233 × 6371000     		dr = 63024.03443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.59534002) × cos(1.16087539) × R
    0.02454369 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 62318.3446967277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.59534002) × cos(1.15098306) × R
    0.02454369 × 0.407589941927033 × 6371000     		du = 63733.9624890893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16087539)-sin(1.15098306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.407589941927033)×R²
    abs(1.59534002-1.57079633)×0.00905312570010547×R²
    0.02454369×0.00905312570010547×6371000²
    0.02454369×0.00905312570010547×40589641000000     		ar = 3972194866.73379m²