Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1922 / 2434
↖ ↑ ↗
← S 32.101189°
W 11.074219°		 ← 8 278.80 m → S 32.101189°
W 10.986328°		 →
↑
8 275.48 m
↓
↑
8 275.48 m
↓
S 32.175613°
W 11.074219°		 ← 8 272.05 m →
68 483 164 m²		 S 32.175613°
W 10.986328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4693603515625 y=0.5943603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4693603515625 × 212)
    floor (0.4693603515625 × 4096)
    floor (1922.5)     		tx = 1922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5943603515625 × 212)
    floor (0.5943603515625 × 4096)
    floor (2434.5)     		ty = 2434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1922 / 2434 ti = "12/1922/2434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1922/2434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1922 ÷ 212
    1922 ÷ 4096     		x = 0.46923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2434 ÷ 212
    2434 ÷ 4096     		y = 0.59423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46923828125 × 2 - 1) × π
    -0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59423828125 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.592116584106934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19328158} λ = -0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.592116584106934))-π/2
    2×atan(0.553155245211266)-π/2
    2×0.505262436086418-π/2
    1.01052487217284-1.57079632675     		φ = -0.56027145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56027145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.101189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1922 KachelY 2434 -0.19328158 -0.56027145 -11.074219 -32.101189
    Oben rechts KachelX + 1 1923 KachelY 2434 -0.19174760 -0.56027145 -10.986328 -32.101189
    Unten links KachelX 1922 KachelY + 1 2435 -0.19328158 -0.56157038 -11.074219 -32.175613
    Unten rechts KachelX + 1 1923 KachelY + 1 2435 -0.19174760 -0.56157038 -10.986328 -32.175613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56027145--0.56157038) × R
    0.00129893000000003 × 6371000     		dl = 8275.4830300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56027145--0.56157038) × R
    0.00129893000000003 × 6371000     		dr = 8275.4830300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19328158--0.19174760) × cos(-0.56027145) × R
    0.00153398000000002 × 0.847110889306722 × 6371000     		do = 8278.80335296655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19328158--0.19174760) × cos(-0.56157038) × R
    0.00153398000000002 × 0.846419902469899 × 6371000     		du = 8272.05034788333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56027145)-sin(-0.56157038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847110889306722-0.846419902469899)×R²
    abs(-0.19174760--0.19328158)×0.00069098683682256×R²
    0.00153398000000002×0.00069098683682256×6371000²
    0.00153398000000002×0.00069098683682256×40589641000000     		ar = 68483164.0955442m²