Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1928 / 2696
↖ ↑ ↗
← S 49.382373°
W 10.546875°		 ← 6 362.29 m → S 49.382373°
W 10.458984°		 →
↑
6 358.58 m
↓
↑
6 358.58 m
↓
S 49.439557°
W 10.546875°		 ← 6 354.88 m →
40 431 564 m²		 S 49.439557°
W 10.458984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4708251953125 y=0.6583251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4708251953125 × 212)
    floor (0.4708251953125 × 4096)
    floor (1928.5)     		tx = 1928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6583251953125 × 212)
    floor (0.6583251953125 × 4096)
    floor (2696.5)     		ty = 2696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1928 / 2696 ti = "12/1928/2696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1928/2696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1928 ÷ 212
    1928 ÷ 4096     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2696 ÷ 212
    2696 ÷ 4096     		y = 0.658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.994019550521484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994019550521484))-π/2
    2×atan(0.370086117464643)-π/2
    2×0.354455664616414-π/2
    0.708911329232827-1.57079632675     		φ = -0.86188500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86188500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.382373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1928 KachelY 2696 -0.18407769 -0.86188500 -10.546875 -49.382373
    Oben rechts KachelX + 1 1929 KachelY 2696 -0.18254371 -0.86188500 -10.458984 -49.382373
    Unten links KachelX 1928 KachelY + 1 2697 -0.18407769 -0.86288305 -10.546875 -49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 1929 KachelY + 1 2697 -0.18254371 -0.86288305 -10.458984 -49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86188500--0.86288305) × R
    0.000998049999999973 × 6371000     		dl = 6358.57654999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86188500--0.86288305) × R
    0.000998049999999973 × 6371000     		dr = 6358.57654999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.18254371) × cos(-0.86188500) × R
    0.00153397999999999 × 0.651007776650759 × 6371000     		do = 6362.29026468347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.18254371) × cos(-0.86288305) × R
    0.00153397999999999 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 6354.88317173858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86188500)-sin(-0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651007776650759-0.650249861669064)×R²
    abs(-0.18254371--0.18407769)×0.000757914981695307×R²
    0.00153397999999999×0.000757914981695307×6371000²
    0.00153397999999999×0.000757914981695307×40589641000000     		ar = 40431563.7537244m²