Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 194 / 195
↖ ↑ ↗
← N 39.368279°
W 43.593750°		 ← 60.443 km → N 39.368279°
W 42.890625°		 →
↑
60.678 km
↓
↑
60.678 km
↓
N 38.822591°
W 43.593750°		 ← 60.912 km →
3 681.81 km²		 N 38.822591°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3798828125 y=0.3818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3798828125 × 29)
    floor (0.3798828125 × 512)
    floor (194.5)     		tx = 194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3818359375 × 29)
    floor (0.3818359375 × 512)
    floor (195.5)     		ty = 195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 194 / 195 ti = "9/194/195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/194/195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 194 ÷ 29
    194 ÷ 512     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 195 ÷ 29
    195 ÷ 512     		y = 0.380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380859375 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.748582624466797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.748582624466797))-π/2
    2×atan(2.11400155805821)-π/2
    2×1.12895120938772-π/2
    2.25790241877543-1.57079632675     		φ = 0.68710609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68710609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.368279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 194 KachelY 195 -0.76085447 0.68710609 -43.593750 39.368279
    Oben rechts KachelX + 1 195 KachelY 195 -0.74858262 0.68710609 -42.890625 39.368279
    Unten links KachelX 194 KachelY + 1 196 -0.76085447 0.67758204 -43.593750 38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 195 KachelY + 1 196 -0.74858262 0.67758204 -42.890625 38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68710609-0.67758204) × R
    0.00952405000000001 × 6371000     		dl = 60677.72255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68710609-0.67758204) × R
    0.00952405000000001 × 6371000     		dr = 60677.72255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.74858262) × cos(0.68710609) × R
    0.01227185 × 0.773084864262395 × 6371000     		do = 60442.8332823367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.74858262) × cos(0.67758204) × R
    0.01227185 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 60912.4042741201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68710609)-sin(0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773084864262395-0.779090840599552)×R²
    abs(-0.74858262--0.76085447)×0.00600597633715694×R²
    0.01227185×0.00600597633715694×6371000²
    0.01227185×0.00600597633715694×40589641000000     		ar = 3681807547.90064m²