Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 194 / 450
↖ ↑ ↗
← S 79.432371°
W 43.593750°		 ← 14.339 km → S 79.432371°
W 42.890625°		 →
↑
14.253 km
↓
↑
14.253 km
↓
S 79.560546°
W 43.593750°		 ← 14.167 km →
203.136 km²		 S 79.560546°
W 42.890625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3798828125 y=0.8798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3798828125 × 29)
    floor (0.3798828125 × 512)
    floor (194.5)     		tx = 194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8798828125 × 29)
    floor (0.8798828125 × 512)
    floor (450.5)     		ty = 450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 194 / 450 ti = "9/194/450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/194/450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 194 ÷ 29
    194 ÷ 512     		x = 0.37890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 450 ÷ 29
    450 ÷ 512     		y = 0.87890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37890625 × 2 - 1) × π
    -0.2421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76085447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87890625 × 2 - 1) × π
    -0.7578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38073818273047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76085447} λ = -0.76085447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38073818273047))-π/2
    2×atan(0.0924822834821675)-π/2
    2×0.0922199621976958-π/2
    0.184439924395392-1.57079632675     		φ = -1.38635640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76085447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38635640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.432371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 194 KachelY 450 -0.76085447 -1.38635640 -43.593750 -79.432371
    Oben rechts KachelX + 1 195 KachelY 450 -0.74858262 -1.38635640 -42.890625 -79.432371
    Unten links KachelX 194 KachelY + 1 451 -0.76085447 -1.38859349 -43.593750 -79.560546
    Unten rechts KachelX + 1 195 KachelY + 1 451 -0.74858262 -1.38859349 -42.890625 -79.560546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38635640--1.38859349) × R
    0.00223709000000016 × 6371000     		dl = 14252.500390001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38635640--1.38859349) × R
    0.00223709000000016 × 6371000     		dr = 14252.500390001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76085447--0.74858262) × cos(-1.38635640) × R
    0.01227185 × 0.183395988450163 × 6371000     		do = 14338.6239557526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76085447--0.74858262) × cos(-1.38859349) × R
    0.01227185 × 0.181196384390541 × 6371000     		du = 14166.6502079678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38635640)-sin(-1.38859349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183395988450163-0.181196384390541)×R²
    abs(-0.74858262--0.76085447)×0.00219960405962172×R²
    0.01227185×0.00219960405962172×6371000²
    0.01227185×0.00219960405962172×40589641000000     		ar = 203135800.285072m²