Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19456 / 1024
↖ ↑ ↗
← N 83.979259°
E 33.750000°		 ← 128.14 m → N 83.979259°
E 33.760986°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 83.978107°
E 33.750000°		 ← 128.16 m →
16 418 m²		 N 83.978107°
E 33.760986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593765258789062 y=0.0312652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593765258789062 × 215)
    floor (0.593765258789062 × 32768)
    floor (19456.5)     		tx = 19456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0312652587890625 × 215)
    floor (0.0312652587890625 × 32768)
    floor (1024.5)     		ty = 1024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19456 / 1024 ti = "15/19456/1024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19456/1024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19456 ÷ 215
    19456 ÷ 32768     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1024 ÷ 215
    1024 ÷ 32768     		y = 0.03125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.03125 × 2 - 1) × π
    0.9375 × 3.1415926535     		Φ = 2.94524311265625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.94524311265625))-π/2
    2×atan(19.0152846809447)-π/2
    2×1.51825545421397-π/2
    3.03651090842793-1.57079632675     		φ = 1.46571458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.46571458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.979259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19456 KachelY 1024 0.58904862 1.46571458 33.750000 83.979259
    Oben rechts KachelX + 1 19457 KachelY 1024 0.58924037 1.46571458 33.760986 83.979259
    Unten links KachelX 19456 KachelY + 1 1025 0.58904862 1.46569447 33.750000 83.978107
    Unten rechts KachelX + 1 19457 KachelY + 1 1025 0.58924037 1.46569447 33.760986 83.978107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.46571458-1.46569447) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dl = 128.120809999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.46571458-1.46569447) × R
    2.01099999999066e-05 × 6371000     		dr = 128.120809999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.58924037) × cos(1.46571458) × R
    0.000191749999999935 × 0.104888465058156 × 6371000     		do = 128.135865787254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.58924037) × cos(1.46569447) × R
    0.000191749999999935 × 0.10490846411002 × 6371000     		du = 128.160297413974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.46571458)-sin(1.46569447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.104888465058156-0.10490846411002)×R²
    abs(0.58924037-0.58904862)×1.99990518640891e-05×R²
    0.000191749999999935×1.99990518640891e-05×6371000²
    0.000191749999999935×1.99990518640891e-05×40589641000000     		ar = 16418.4360151108m²