Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19460 / 7172
↖ ↑ ↗
← N 70.598021°
E 33.793945°		 ← 405.82 m → N 70.598021°
E 33.804932°		 →
↑
405.83 m
↓
↑
405.83 m
↓
N 70.594371°
E 33.793945°		 ← 405.89 m →
164 710 m²		 N 70.594371°
E 33.804932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.593887329101562 y=0.218887329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.593887329101562 × 215)
    floor (0.593887329101562 × 32768)
    floor (19460.5)     		tx = 19460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218887329101562 × 215)
    floor (0.218887329101562 × 32768)
    floor (7172.5)     		ty = 7172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19460 / 7172 ti = "15/19460/7172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19460/7172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19460 ÷ 215
    19460 ÷ 32768     		x = 0.5938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7172 ÷ 215
    7172 ÷ 32768     		y = 0.2188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5938720703125 × 2 - 1) × π
    0.187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.58981561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2188720703125 × 2 - 1) × π
    0.562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76637887719983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58981561} λ = 0.58981561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76637887719983))-π/2
    2×atan(5.8496327248726)-π/2
    2×1.4014821207157-π/2
    2.80296424143139-1.57079632675     		φ = 1.23216791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58981561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.793945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23216791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.598021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19460 KachelY 7172 0.58981561 1.23216791 33.793945 70.598021
    Oben rechts KachelX + 1 19461 KachelY 7172 0.59000736 1.23216791 33.804932 70.598021
    Unten links KachelX 19460 KachelY + 1 7173 0.58981561 1.23210421 33.793945 70.594371
    Unten rechts KachelX + 1 19461 KachelY + 1 7173 0.59000736 1.23210421 33.804932 70.594371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23216791-1.23210421) × R
    6.37000000001109e-05 × 6371000     		dl = 405.832700000706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23216791-1.23210421) × R
    6.37000000001109e-05 × 6371000     		dr = 405.832700000706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58981561-0.59000736) × cos(1.23216791) × R
    0.000191749999999935 × 0.33219371239581 × 6371000     		do = 405.820877665796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58981561-0.59000736) × cos(1.23210421) × R
    0.000191749999999935 × 0.332253794274215 × 6371000     		du = 405.894276046668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23216791)-sin(1.23210421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33219371239581-0.332253794274215)×R²
    abs(0.59000736-0.58981561)×6.00818784046719e-05×R²
    0.000191749999999935×6.00818784046719e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.00818784046719e-05×40589641000000     		ar = 164710.276286727m²