Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 195 / 325
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
W 42.890625°		 ← 56.637 km → S 43.580391°
W 42.187500°		 →
↑
56.397 km
↓
↑
56.397 km
↓
S 44.087585°
W 42.890625°		 ← 56.158 km →
3 180.69 km²		 S 44.087585°
W 42.187500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 195 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3818359375 y=0.6357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3818359375 × 29)
    floor (0.3818359375 × 512)
    floor (195.5)     		tx = 195
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6357421875 × 29)
    floor (0.6357421875 × 512)
    floor (325.5)     		ty = 325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 195 / 325 ti = "9/195/325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/195/325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 195 ÷ 29
    195 ÷ 512     		x = 0.380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 325 ÷ 29
    325 ÷ 512     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.380859375 × 2 - 1) × π
    -0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74858262} λ = -0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 195 KachelY 325 -0.74858262 -0.76062131 -42.890625 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 196 KachelY 325 -0.73631078 -0.76062131 -42.187500 -43.580391
    Unten links KachelX 195 KachelY + 1 326 -0.74858262 -0.76947352 -42.890625 -44.087585
    Unten rechts KachelX + 1 196 KachelY + 1 326 -0.73631078 -0.76947352 -42.187500 -44.087585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76947352) × R
    0.00885221000000003 × 6371000     		dl = 56397.4299100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76947352) × R
    0.00885221000000003 × 6371000     		dr = 56397.4299100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74858262--0.73631078) × cos(-0.76062131) × R
    0.0122718399999999 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 56637.024562038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74858262--0.73631078) × cos(-0.76947352) × R
    0.0122718399999999 × 0.71827707137878 × 6371000     		du = 56157.6974344518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76947352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.71827707137878)×R²
    abs(-0.73631078--0.74858262)×0.00613076570379179×R²
    0.0122718399999999×0.00613076570379179×6371000²
    0.0122718399999999×0.00613076570379179×40589641000000     		ar = 3180686984.3505m²