Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19584 / 7296
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
E 35.156250°		 ← 414.99 m → N 70.140365°
E 35.167236°		 →
↑
415.07 m
↓
↑
415.07 m
↓
N 70.136632°
E 35.156250°		 ← 415.06 m →
172 266 m²		 N 70.136632°
E 35.167236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.597671508789062 y=0.222671508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.597671508789062 × 215)
    floor (0.597671508789062 × 32768)
    floor (19584.5)     		tx = 19584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222671508789062 × 215)
    floor (0.222671508789062 × 32768)
    floor (7296.5)     		ty = 7296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19584 / 7296 ti = "15/19584/7296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19584/7296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19584 ÷ 215
    19584 ÷ 32768     		x = 0.59765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7296 ÷ 215
    7296 ÷ 32768     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59765625 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.61359232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.61359232} λ = 0.61359232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.61359232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 35.156250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19584 KachelY 7296 0.61359232 1.22418030 35.156250 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 19585 KachelY 7296 0.61378406 1.22418030 35.167236 70.140365
    Unten links KachelX 19584 KachelY + 1 7297 0.61359232 1.22411515 35.156250 70.136632
    Unten rechts KachelX + 1 19585 KachelY + 1 7297 0.61378406 1.22411515 35.167236 70.136632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.22411515) × R
    6.51499999999583e-05 × 6371000     		dl = 415.070649999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.22411515) × R
    6.51499999999583e-05 × 6371000     		dr = 415.070649999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.61359232-0.61378406) × cos(1.22418030) × R
    0.000191739999999996 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 414.990024295793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.61359232-0.61378406) × cos(1.22411515) × R
    0.000191739999999996 × 0.339778312783798 × 6371000     		du = 415.064875919148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.22411515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.339778312783798)×R²
    abs(0.61378406-0.61359232)×6.12746579347068e-05×R²
    0.000191739999999996×6.12746579347068e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.12746579347068e-05×40589641000000     		ar = 172265.713544813m²