Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 196 / 197
↖ ↑ ↗
← S 69.162558°
E 95.625000°		 ← 55.623 km → S 69.162558°
E 97.031250°		 →
↑
54.989 km
↓
↑
54.989 km
↓
S 69.657086°
E 95.625000°		 ← 54.359 km →
3 023.93 km²		 S 69.657086°
E 97.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767578125 y=0.771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767578125 × 28)
    floor (0.767578125 × 256)
    floor (196.5)     		tx = 196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.771484375 × 28)
    floor (0.771484375 × 256)
    floor (197.5)     		ty = 197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 196 / 197 ti = "8/196/197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/196/197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 196 ÷ 28
    196 ÷ 256     		x = 0.765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 197 ÷ 28
    197 ÷ 256     		y = 0.76953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765625 × 2 - 1) × π
    0.53125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66897110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76953125 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66897110} λ = 1.66897110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69351478977734))-π/2
    2×atan(0.183872115075954)-π/2
    2×0.18184098610722-π/2
    0.363681972214441-1.57079632675     		φ = -1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66897110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 196 KachelY 197 1.66897110 -1.20711435 95.625000 -69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 197 KachelY 197 1.69351479 -1.20711435 97.031250 -69.162558
    Unten links KachelX 196 KachelY + 1 198 1.66897110 -1.21574550 95.625000 -69.657086
    Unten rechts KachelX + 1 197 KachelY + 1 198 1.69351479 -1.21574550 97.031250 -69.657086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20711435--1.21574550) × R
    0.00863115000000003 × 6371000     		dl = 54989.0566500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20711435--1.21574550) × R
    0.00863115000000003 × 6371000     		dr = 54989.0566500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66897110-1.69351479) × cos(-1.20711435) × R
    0.02454369 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 55622.8253564564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66897110-1.69351479) × cos(-1.21574550) × R
    0.02454369 × 0.347638022352561 × 6371000     		du = 54359.4097824074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20711435)-sin(-1.21574550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.347638022352561)×R²
    abs(1.69351479-1.66897110)×0.00807976564370155×R²
    0.02454369×0.00807976564370155×6371000²
    0.02454369×0.00807976564370155×40589641000000     		ar = 3023928452.03259m²