Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 196 / 460
↖ ↑ ↗
← S 80.647035°
W 42.187500°		 ← 12.706 km → S 80.647035°
W 41.484375°		 →
↑
12.629 km
↓
↑
12.629 km
↓
S 80.760615°
W 42.187500°		 ← 12.553 km →
159.506 km²		 S 80.760615°
W 41.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3837890625 y=0.8994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3837890625 × 29)
    floor (0.3837890625 × 512)
    floor (196.5)     		tx = 196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8994140625 × 29)
    floor (0.8994140625 × 512)
    floor (460.5)     		ty = 460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 196 / 460 ti = "9/196/460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/196/460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 196 ÷ 29
    196 ÷ 512     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 460 ÷ 29
    460 ÷ 512     		y = 0.8984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8984375 × 2 - 1) × π
    -0.796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50345664575781))-π/2
    2×atan(0.0818017496892705)-π/2
    2×0.0816200192470943-π/2
    0.163240038494189-1.57079632675     		φ = -1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 196 KachelY 460 -0.73631078 -1.40755629 -42.187500 -80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 197 KachelY 460 -0.72403893 -1.40755629 -41.484375 -80.647035
    Unten links KachelX 196 KachelY + 1 461 -0.73631078 -1.40953863 -42.187500 -80.760615
    Unten rechts KachelX + 1 197 KachelY + 1 461 -0.72403893 -1.40953863 -41.484375 -80.760615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40755629--1.40953863) × R
    0.00198233999999986 × 6371000     		dl = 12629.4881399991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40755629--1.40953863) × R
    0.00198233999999986 × 6371000     		dr = 12629.4881399991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.72403893) × cos(-1.40755629) × R
    0.0122718500000001 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 12706.1452178609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.72403893) × cos(-1.40953863) × R
    0.0122718500000001 × 0.160559712872195 × 6371000     		du = 12553.1935827683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40755629)-sin(-1.40953863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.160559712872195)×R²
    abs(-0.72403893--0.73631078)×0.00195630462096189×R²
    0.0122718500000001×0.00195630462096189×6371000²
    0.0122718500000001×0.00195630462096189×40589641000000     		ar = 159506312.137315m²