Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 196 / 68
↖ ↑ ↗
← N 78.630006°
W 42.187500°		 ← 15.413 km → N 78.630006°
W 41.484375°		 →
↑
15.507 km
↓
↑
15.507 km
↓
N 78.490552°
W 42.187500°		 ← 15.600 km →
240.457 km²		 N 78.490552°
W 41.484375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3837890625 y=0.1337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3837890625 × 29)
    floor (0.3837890625 × 512)
    floor (196.5)     		tx = 196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1337890625 × 29)
    floor (0.1337890625 × 512)
    floor (68.5)     		ty = 68
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 196 / 68 ti = "9/196/68"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/196/68.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 196 ÷ 29
    196 ÷ 512     		x = 0.3828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68 ÷ 29
    68 ÷ 512     		y = 0.1328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3828125 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73631078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1328125 × 2 - 1) × π
    0.734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73631078} λ = -0.73631078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30710710491406))-π/2
    2×atan(10.0453225164482)-π/2
    2×1.47157440740029-π/2
    2.94314881480058-1.57079632675     		φ = 1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73631078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 196 KachelY 68 -0.73631078 1.37235249 -42.187500 78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 197 KachelY 68 -0.72403893 1.37235249 -41.484375 78.630006
    Unten links KachelX 196 KachelY + 1 69 -0.73631078 1.36991856 -42.187500 78.490552
    Unten rechts KachelX + 1 197 KachelY + 1 69 -0.72403893 1.36991856 -41.484375 78.490552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37235249-1.36991856) × R
    0.00243393000000003 × 6371000     		dl = 15506.5680300002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37235249-1.36991856) × R
    0.00243393000000003 × 6371000     		dr = 15506.5680300002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73631078--0.72403893) × cos(1.37235249) × R
    0.0122718500000001 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 15413.4937711903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73631078--0.72403893) × cos(1.36991856) × R
    0.0122718500000001 × 0.199529524048583 × 6371000     		du = 15600.0075987508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37235249)-sin(1.36991856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.199529524048583)×R²
    abs(-0.72403893--0.73631078)×0.00238557673809051×R²
    0.0122718500000001×0.00238557673809051×6371000²
    0.0122718500000001×0.00238557673809051×40589641000000     		ar = 240456603.12643m²