Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 197 / 195
↖ ↑ ↗
← S 68.138852°
E 97.031250°		 ← 58.225 km → S 68.138852°
E 98.437500°		 →
↑
57.566 km
↓
↑
57.566 km
↓
S 68.656555°
E 97.031250°		 ← 56.911 km →
3 313.99 km²		 S 68.656555°
E 98.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771484375 y=0.763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771484375 × 28)
    floor (0.771484375 × 256)
    floor (197.5)     		tx = 197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763671875 × 28)
    floor (0.763671875 × 256)
    floor (195.5)     		ty = 195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 197 / 195 ti = "8/197/195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/197/195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 197 ÷ 28
    197 ÷ 256     		x = 0.76953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 195 ÷ 28
    195 ÷ 256     		y = 0.76171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76953125 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76171875 × 2 - 1) × π
    -0.5234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64442740456641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69351479} λ = 1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64442740456641))-π/2
    2×atan(0.193123112552967)-π/2
    2×0.190774508502458-π/2
    0.381549017004917-1.57079632675     		φ = -1.18924731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18924731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.138852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 197 KachelY 195 1.69351479 -1.18924731 97.031250 -68.138852
    Oben rechts KachelX + 1 198 KachelY 195 1.71805848 -1.18924731 98.437500 -68.138852
    Unten links KachelX 197 KachelY + 1 196 1.69351479 -1.19828294 97.031250 -68.656555
    Unten rechts KachelX + 1 198 KachelY + 1 196 1.71805848 -1.19828294 98.437500 -68.656555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18924731--1.19828294) × R
    0.00903562999999985 × 6371000     		dl = 57565.998729999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18924731--1.19828294) × R
    0.00903562999999985 × 6371000     		dr = 57565.998729999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69351479-1.71805848) × cos(-1.18924731) × R
    0.02454369 × 0.372358540952008 × 6371000     		do = 58224.9041017204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69351479-1.71805848) × cos(-1.19828294) × R
    0.02454369 × 0.363957586554578 × 6371000     		du = 56911.2649331311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18924731)-sin(-1.19828294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372358540952008-0.363957586554578)×R²
    abs(1.71805848-1.69351479)×0.00840095439743049×R²
    0.02454369×0.00840095439743049×6371000²
    0.02454369×0.00840095439743049×40589641000000     		ar = 3313986827.12702m²