Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 198 / 334
↖ ↑ ↗
← S 47.989922°
W 40.781250°		 ← 52.325 km → S 47.989922°
W 40.078125°		 →
↑
52.087 km
↓
↑
52.087 km
↓
S 48.458352°
W 40.781250°		 ← 51.849 km →
2 713.08 km²		 S 48.458352°
W 40.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3876953125 y=0.6533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3876953125 × 29)
    floor (0.3876953125 × 512)
    floor (198.5)     		tx = 198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6533203125 × 29)
    floor (0.6533203125 × 512)
    floor (334.5)     		ty = 334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 198 / 334 ti = "9/198/334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/198/334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 198 ÷ 29
    198 ÷ 512     		x = 0.38671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 334 ÷ 29
    334 ÷ 512     		y = 0.65234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38671875 × 2 - 1) × π
    -0.2265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.71176709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65234375 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.71176709} λ = -0.71176709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957204011613281))-π/2
    2×atan(0.383964948075839)-π/2
    2×0.366607092971331-π/2
    0.733214185942662-1.57079632675     		φ = -0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.71176709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.781250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 198 KachelY 334 -0.71176709 -0.83758214 -40.781250 -47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 199 KachelY 334 -0.69949524 -0.83758214 -40.078125 -47.989922
    Unten links KachelX 198 KachelY + 1 335 -0.71176709 -0.84575779 -40.781250 -48.458352
    Unten rechts KachelX + 1 199 KachelY + 1 335 -0.69949524 -0.84575779 -40.078125 -48.458352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83758214--0.84575779) × R
    0.00817564999999998 × 6371000     		dl = 52087.0661499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83758214--0.84575779) × R
    0.00817564999999998 × 6371000     		dr = 52087.0661499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.71176709--0.69949524) × cos(-0.83758214) × R
    0.0122718500000001 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 52325.4975084869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.71176709--0.69949524) × cos(-0.84575779) × R
    0.0122718500000001 × 0.663164286939641 × 6371000     		du = 51848.8076629681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83758214)-sin(-0.84575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.663164286939641)×R²
    abs(-0.69949524--0.71176709)×0.00609702895290676×R²
    0.0122718500000001×0.00609702895290676×6371000²
    0.0122718500000001×0.00609702895290676×40589641000000     		ar = 2713082074.46521m²