Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 199 / 327
↖ ↑ ↗
← S 44.590467°
W 40.078125°		 ← 55.678 km → S 44.590467°
W 39.375000°		 →
↑
55.438 km
↓
↑
55.438 km
↓
S 45.089036°
W 40.078125°		 ← 55.198 km →
3 073.42 km²		 S 45.089036°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3896484375 y=0.6396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3896484375 × 29)
    floor (0.3896484375 × 512)
    floor (199.5)     		tx = 199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6396484375 × 29)
    floor (0.6396484375 × 512)
    floor (327.5)     		ty = 327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 199 / 327 ti = "9/199/327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/199/327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 199 ÷ 29
    199 ÷ 512     		x = 0.388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 327 ÷ 29
    327 ÷ 512     		y = 0.638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388671875 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638671875 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.871301087494141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.69949524} λ = -0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871301087494141))-π/2
    2×atan(0.418406811079117)-π/2
    2×0.396272929748159-π/2
    0.792545859496317-1.57079632675     		φ = -0.77825047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77825047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.590467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 199 KachelY 327 -0.69949524 -0.77825047 -40.078125 -44.590467
    Oben rechts KachelX + 1 200 KachelY 327 -0.68722339 -0.77825047 -39.375000 -44.590467
    Unten links KachelX 199 KachelY + 1 328 -0.69949524 -0.78695213 -40.078125 -45.089036
    Unten rechts KachelX + 1 200 KachelY + 1 328 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77825047--0.78695213) × R
    0.00870165999999994 × 6371000     		dl = 55438.2758599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77825047--0.78695213) × R
    0.00870165999999994 × 6371000     		dr = 55438.2758599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.69949524--0.68722339) × cos(-0.77825047) × R
    0.01227185 × 0.712142857825438 × 6371000     		do = 55678.1461111882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.69949524--0.68722339) × cos(-0.78695213) × R
    0.01227185 × 0.706007107541517 × 6371000     		du = 55198.4288788156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77825047)-sin(-0.78695213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712142857825438-0.706007107541517)×R²
    abs(-0.68722339--0.69949524)×0.00613575028392099×R²
    0.01227185×0.00613575028392099×6371000²
    0.01227185×0.00613575028392099×40589641000000     		ar = 3073422468.38899m²