Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19967 / 5631
↖ ↑ ↗
← N 75.499909°
E 39.364014°		 ← 305.86 m → N 75.499909°
E 39.375000°		 →
↑
305.94 m
↓
↑
305.94 m
↓
N 75.497157°
E 39.364014°		 ← 305.92 m →
93 582 m²		 N 75.497157°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609359741210938 y=0.171859741210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609359741210938 × 215)
    floor (0.609359741210938 × 32768)
    floor (19967.5)     		tx = 19967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171859741210938 × 215)
    floor (0.171859741210938 × 32768)
    floor (5631.5)     		ty = 5631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19967 / 5631 ti = "15/19967/5631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19967/5631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19967 ÷ 215
    19967 ÷ 32768     		x = 0.609344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5631 ÷ 215
    5631 ÷ 32768     		y = 0.171844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609344482421875 × 2 - 1) × π
    0.21868896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68703165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171844482421875 × 2 - 1) × π
    0.65631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.06186192645786
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68703165} λ = 0.68703165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06186192645786))-π/2
    2×atan(7.86059203762744)-π/2
    2×1.4442591562048-π/2
    2.88851831240961-1.57079632675     		φ = 1.31772199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68703165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.364014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31772199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.499909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19967 KachelY 5631 0.68703165 1.31772199 39.364014 75.499909
    Oben rechts KachelX + 1 19968 KachelY 5631 0.68722339 1.31772199 39.375000 75.499909
    Unten links KachelX 19967 KachelY + 1 5632 0.68703165 1.31767397 39.364014 75.497157
    Unten rechts KachelX + 1 19968 KachelY + 1 5632 0.68722339 1.31767397 39.375000 75.497157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31772199-1.31767397) × R
    4.80199999999265e-05 × 6371000     		dl = 305.935419999531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31772199-1.31767397) × R
    4.80199999999265e-05 × 6371000     		dr = 305.935419999531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68703165-0.68722339) × cos(1.31772199) × R
    0.000191739999999996 × 0.250381548497183 × 6371000     		do = 305.859975311476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68703165-0.68722339) × cos(1.31767397) × R
    0.000191739999999996 × 0.250428038638996 × 6371000     		du = 305.916766531565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31772199)-sin(1.31767397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250381548497183-0.250428038638996)×R²
    abs(0.68722339-0.68703165)×4.64901418128494e-05×R²
    0.000191739999999996×4.64901418128494e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.64901418128494e-05×40589641000000     		ar = 93582.087249237m²