Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19967 / 5633
↖ ↑ ↗
← N 75.494406°
E 39.364014°		 ← 305.97 m → N 75.494406°
E 39.375000°		 →
↑
306 m
↓
↑
306 m
↓
N 75.491654°
E 39.364014°		 ← 306.03 m →
93 636 m²		 N 75.491654°
E 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609359741210938 y=0.171920776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609359741210938 × 215)
    floor (0.609359741210938 × 32768)
    floor (19967.5)     		tx = 19967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171920776367188 × 215)
    floor (0.171920776367188 × 32768)
    floor (5633.5)     		ty = 5633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19967 / 5633 ti = "15/19967/5633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19967/5633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19967 ÷ 215
    19967 ÷ 32768     		x = 0.609344482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5633 ÷ 215
    5633 ÷ 32768     		y = 0.171905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609344482421875 × 2 - 1) × π
    0.21868896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68703165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171905517578125 × 2 - 1) × π
    0.65618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06147843126089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68703165} λ = 0.68703165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06147843126089))-π/2
    2×atan(7.85757811628486)-π/2
    2×1.44421113722975-π/2
    2.8884222744595-1.57079632675     		φ = 1.31762595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68703165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.364014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31762595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.494406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19967 KachelY 5633 0.68703165 1.31762595 39.364014 75.494406
    Oben rechts KachelX + 1 19968 KachelY 5633 0.68722339 1.31762595 39.375000 75.494406
    Unten links KachelX 19967 KachelY + 1 5634 0.68703165 1.31757792 39.364014 75.491654
    Unten rechts KachelX + 1 19968 KachelY + 1 5634 0.68722339 1.31757792 39.375000 75.491654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31762595-1.31757792) × R
    4.80300000000877e-05 × 6371000     		dl = 305.999130000559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31762595-1.31757792) × R
    4.80300000000877e-05 × 6371000     		dr = 305.999130000559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68703165-0.68722339) × cos(1.31762595) × R
    0.000191739999999996 × 0.250474528203341 × 6371000     		do = 305.973557046235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68703165-0.68722339) × cos(1.31757792) × R
    0.000191739999999996 × 0.250521026871225 × 6371000     		du = 306.030358681564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31762595)-sin(1.31757792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250474528203341-0.250521026871225)×R²
    abs(0.68722339-0.68703165)×4.64986678831436e-05×R²
    0.000191739999999996×4.64986678831436e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.64986678831436e-05×40589641000000     		ar = 93636.3329028271m²