Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19970 / 3586
↖ ↑ ↗
← N 80.174965°
E 39.396973°		 ← 208.46 m → N 80.174965°
E 39.407959°		 →
↑
208.46 m
↓
↑
208.46 m
↓
N 80.173090°
E 39.396973°		 ← 208.50 m →
43 460 m²		 N 80.173090°
E 39.407959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609451293945312 y=0.109451293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609451293945312 × 215)
    floor (0.609451293945312 × 32768)
    floor (19970.5)     		tx = 19970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109451293945312 × 215)
    floor (0.109451293945312 × 32768)
    floor (3586.5)     		ty = 3586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19970 / 3586 ti = "15/19970/3586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19970/3586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19970 ÷ 215
    19970 ÷ 32768     		x = 0.60943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3586 ÷ 215
    3586 ÷ 32768     		y = 0.10943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68760689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10943603515625 × 2 - 1) × π
    0.7811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45398576534991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68760689} λ = 0.68760689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45398576534991))-π/2
    2×atan(11.6346273205793)-π/2
    2×1.48505672001332-π/2
    2.97011344002664-1.57079632675     		φ = 1.39931711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68760689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.396973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39931711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.174965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19970 KachelY 3586 0.68760689 1.39931711 39.396973 80.174965
    Oben rechts KachelX + 1 19971 KachelY 3586 0.68779864 1.39931711 39.407959 80.174965
    Unten links KachelX 19970 KachelY + 1 3587 0.68760689 1.39928439 39.396973 80.173090
    Unten rechts KachelX + 1 19971 KachelY + 1 3587 0.68779864 1.39928439 39.407959 80.173090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39931711-1.39928439) × R
    3.27199999998751e-05 × 6371000     		dl = 208.459119999204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39931711-1.39928439) × R
    3.27199999998751e-05 × 6371000     		dr = 208.459119999204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68760689-0.68779864) × cos(1.39931711) × R
    0.000191750000000046 × 0.170640056982918 × 6371000     		do = 208.460591232619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68760689-0.68779864) × cos(1.39928439) × R
    0.000191750000000046 × 0.170672297001442 × 6371000     		du = 208.499976904669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39931711)-sin(1.39928439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170640056982918-0.170672297001442)×R²
    abs(0.68779864-0.68760689)×3.22400185246985e-05×R²
    0.000191750000000046×3.22400185246985e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.22400185246985e-05×40589641000000     		ar = 43459.6165585957m²