Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19972 / 5636
↖ ↑ ↗
← N 75.486148°
E 39.418945°		 ← 306.16 m → N 75.486148°
E 39.429932°		 →
↑
306.19 m
↓
↑
306.19 m
↓
N 75.483394°
E 39.418945°		 ← 306.22 m →
93 752 m²		 N 75.483394°
E 39.429932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609512329101562 y=0.172012329101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609512329101562 × 215)
    floor (0.609512329101562 × 32768)
    floor (19972.5)     		tx = 19972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172012329101562 × 215)
    floor (0.172012329101562 × 32768)
    floor (5636.5)     		ty = 5636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19972 / 5636 ti = "15/19972/5636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19972/5636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19972 ÷ 215
    19972 ÷ 32768     		x = 0.6094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5636 ÷ 215
    5636 ÷ 32768     		y = 0.1719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    0.218994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68799038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1719970703125 × 2 - 1) × π
    0.656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.06090318846545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68799038} λ = 0.68799038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06090318846545))-π/2
    2×atan(7.8530594008877)-π/2
    2×1.44413907533147-π/2
    2.88827815066294-1.57079632675     		φ = 1.31748182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68799038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.418945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31748182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.486148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19972 KachelY 5636 0.68799038 1.31748182 39.418945 75.486148
    Oben rechts KachelX + 1 19973 KachelY 5636 0.68818213 1.31748182 39.429932 75.486148
    Unten links KachelX 19972 KachelY + 1 5637 0.68799038 1.31743376 39.418945 75.483394
    Unten rechts KachelX + 1 19973 KachelY + 1 5637 0.68818213 1.31743376 39.429932 75.483394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31748182-1.31743376) × R
    4.80600000001274e-05 × 6371000     		dl = 306.190260000812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31748182-1.31743376) × R
    4.80600000001274e-05 × 6371000     		dr = 306.190260000812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68799038-0.68818213) × cos(1.31748182) × R
    0.000191749999999935 × 0.2506140611966 × 6371000     		do = 306.159973759565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68799038-0.68818213) × cos(1.31743376) × R
    0.000191749999999935 × 0.250660587172165 × 6371000     		du = 306.216811717459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31748182)-sin(1.31743376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2506140611966-0.250660587172165)×R²
    abs(0.68818213-0.68799038)×4.65259755644265e-05×R²
    0.000191749999999935×4.65259755644265e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.65259755644265e-05×40589641000000     		ar = 93751.9036004582m²