Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19976 / 3592
↖ ↑ ↗
← N 80.163710°
E 39.462890°		 ← 208.70 m → N 80.163710°
E 39.473877°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
N 80.161833°
E 39.462890°		 ← 208.74 m →
43 562 m²		 N 80.161833°
E 39.473877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609634399414062 y=0.109634399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609634399414062 × 215)
    floor (0.609634399414062 × 32768)
    floor (19976.5)     		tx = 19976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109634399414062 × 215)
    floor (0.109634399414062 × 32768)
    floor (3592.5)     		ty = 3592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19976 / 3592 ti = "15/19976/3592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19976/3592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19976 ÷ 215
    19976 ÷ 32768     		x = 0.609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3592 ÷ 215
    3592 ÷ 32768     		y = 0.109619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609619140625 × 2 - 1) × π
    0.21923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68875737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109619140625 × 2 - 1) × π
    0.78076171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45283527975903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68875737} λ = 0.68875737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45283527975903))-π/2
    2×atan(11.6212495464354)-π/2
    2×1.48495850489399-π/2
    2.96991700978798-1.57079632675     		φ = 1.39912068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68875737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.462890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39912068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.163710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19976 KachelY 3592 0.68875737 1.39912068 39.462890 80.163710
    Oben rechts KachelX + 1 19977 KachelY 3592 0.68894912 1.39912068 39.473877 80.163710
    Unten links KachelX 19976 KachelY + 1 3593 0.68875737 1.39908792 39.462890 80.161833
    Unten rechts KachelX + 1 19977 KachelY + 1 3593 0.68894912 1.39908792 39.473877 80.161833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39912068-1.39908792) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dl = 208.713960000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39912068-1.39908792) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dr = 208.713960000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68875737-0.68894912) × cos(1.39912068) × R
    0.000191749999999935 × 0.170833602735543 × 6371000     		do = 208.697034320576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68875737-0.68894912) × cos(1.39908792) × R
    0.000191749999999935 × 0.170865881068378 × 6371000     		du = 208.736466798892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39912068)-sin(1.39908792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170833602735543-0.170865881068378)×R²
    abs(0.68894912-0.68875737)×3.22783328353116e-05×R²
    0.000191749999999935×3.22783328353116e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.22783328353116e-05×40589641000000     		ar = 43562.0995315831m²