Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19976 / 5640
↖ ↑ ↗
← N 75.475130°
E 39.462890°		 ← 306.39 m → N 75.475130°
E 39.473877°		 →
↑
306.38 m
↓
↑
306.38 m
↓
N 75.472375°
E 39.462890°		 ← 306.44 m →
93 880 m²		 N 75.472375°
E 39.473877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609634399414062 y=0.172134399414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609634399414062 × 215)
    floor (0.609634399414062 × 32768)
    floor (19976.5)     		tx = 19976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172134399414062 × 215)
    floor (0.172134399414062 × 32768)
    floor (5640.5)     		ty = 5640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19976 / 5640 ti = "15/19976/5640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19976/5640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19976 ÷ 215
    19976 ÷ 32768     		x = 0.609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5640 ÷ 215
    5640 ÷ 32768     		y = 0.172119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609619140625 × 2 - 1) × π
    0.21923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68875737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.172119140625 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06013619807153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68875737} λ = 0.68875737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06013619807153))-π/2
    2×atan(7.84703848905026)-π/2
    2×1.44404293035468-π/2
    2.88808586070937-1.57079632675     		φ = 1.31728953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68875737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.462890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31728953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.475130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19976 KachelY 5640 0.68875737 1.31728953 39.462890 75.475130
    Oben rechts KachelX + 1 19977 KachelY 5640 0.68894912 1.31728953 39.473877 75.475130
    Unten links KachelX 19976 KachelY + 1 5641 0.68875737 1.31724144 39.462890 75.472375
    Unten rechts KachelX + 1 19977 KachelY + 1 5641 0.68894912 1.31724144 39.473877 75.472375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31728953-1.31724144) × R
    4.80899999999451e-05 × 6371000     		dl = 306.38138999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31728953-1.31724144) × R
    4.80899999999451e-05 × 6371000     		dr = 306.38138999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68875737-0.68894912) × cos(1.31728953) × R
    0.000191749999999935 × 0.250800210026571 × 6371000     		do = 306.387380476599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68875737-0.68894912) × cos(1.31724144) × R
    0.000191749999999935 × 0.250846762725826 × 6371000     		du = 306.444251081202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31728953)-sin(1.31724144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250800210026571-0.250846762725826)×R²
    abs(0.68894912-0.68875737)×4.65526992543541e-05×R²
    0.000191749999999935×4.65526992543541e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.65526992543541e-05×40589641000000     		ar = 93880.103573948m²