Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19984 / 3600
↖ ↑ ↗
← N 80.148684°
E 39.550781°		 ← 209.01 m → N 80.148684°
E 39.561767°		 →
↑
209.03 m
↓
↑
209.03 m
↓
N 80.146804°
E 39.550781°		 ← 209.05 m →
43 695 m²		 N 80.146804°
E 39.561767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609878540039062 y=0.109878540039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609878540039062 × 215)
    floor (0.609878540039062 × 32768)
    floor (19984.5)     		tx = 19984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109878540039062 × 215)
    floor (0.109878540039062 × 32768)
    floor (3600.5)     		ty = 3600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19984 / 3600 ti = "15/19984/3600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19984/3600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19984 ÷ 215
    19984 ÷ 32768     		x = 0.60986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3600 ÷ 215
    3600 ÷ 32768     		y = 0.10986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60986328125 × 2 - 1) × π
    0.2197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69029135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10986328125 × 2 - 1) × π
    0.7802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45130129897119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69029135} λ = 0.69029135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45130129897119))-π/2
    2×atan(11.6034364388759)-π/2
    2×1.4848273780959-π/2
    2.9696547561918-1.57079632675     		φ = 1.39885843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69029135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39885843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.148684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19984 KachelY 3600 0.69029135 1.39885843 39.550781 80.148684
    Oben rechts KachelX + 1 19985 KachelY 3600 0.69048310 1.39885843 39.561767 80.148684
    Unten links KachelX 19984 KachelY + 1 3601 0.69029135 1.39882562 39.550781 80.146804
    Unten rechts KachelX + 1 19985 KachelY + 1 3601 0.69048310 1.39882562 39.561767 80.146804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39885843-1.39882562) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dl = 209.032509999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39885843-1.39882562) × R
    3.28099999999942e-05 × 6371000     		dr = 209.032509999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69029135-0.69048310) × cos(1.39885843) × R
    0.000191750000000046 × 0.171091991755112 × 6371000     		do = 209.012692488771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69029135-0.69048310) × cos(1.39882562) × R
    0.000191750000000046 × 0.171124317881486 × 6371000     		du = 209.052183353551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39885843)-sin(1.39882562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171091991755112-0.171124317881486)×R²
    abs(0.69048310-0.69029135)×3.23261263746044e-05×R²
    0.000191750000000046×3.23261263746044e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.23261263746044e-05×40589641000000     		ar = 43694.5751735385m²