Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
5 / 20 / 4
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
E 45.000000°		 ← 235.018 km → N 79.171334°
E 56.250000°		 →
↑
259.142 km
↓
↑
259.142 km
↓
N 76.840817°
E 45.000000°		 ← 284.786 km →
67 360.8 km²		 N 76.840817°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.640625 y=0.140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.640625 × 25)
    floor (0.640625 × 32)
    floor (20.5)     		tx = 20
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.140625 × 25)
    floor (0.140625 × 32)
    floor (4.5)     		ty = 4
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 20 / 4 ti = "5/20/4"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/20/4.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20 ÷ 25
    20 ÷ 32     		x = 0.625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4 ÷ 25
    4 ÷ 32     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625 × 2 - 1) × π
    0.25 × 3.1415926535     		Λ = 0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78539816} λ = 0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20 KachelY 4 0.78539816 1.38180046 45.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 21 KachelY 4 0.98174770 1.38180046 56.250000 79.171334
    Unten links KachelX 20 KachelY + 1 5 0.78539816 1.34112525 45.000000 76.840817
    Unten rechts KachelX + 1 21 KachelY + 1 5 0.98174770 1.34112525 56.250000 76.840817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.34112525) × R
    0.0406752100000001 × 6371000     		dl = 259141.76291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.34112525) × R
    0.0406752100000001 × 6371000     		dr = 259141.76291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78539816-0.98174770) × cos(1.38180046) × R
    0.19634954 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 235018.069925213m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78539816-0.98174770) × cos(1.34112525) × R
    0.19634954 × 0.227657249737119 × 6371000     		du = 284786.224595067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.34112525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.227657249737119)×R²
    abs(0.98174770-0.78539816)×0.0397845128665914×R²
    0.19634954×0.0397845128665914×6371000²
    0.19634954×0.0397845128665914×40589641000000     		ar = 67360788096.6493m²