Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 200 / 328
↖ ↑ ↗
← S 45.089036°
W 39.375000°		 ← 55.198 km → S 45.089036°
W 38.671875°		 →
↑
54.959 km
↓
↑
54.959 km
↓
S 45.583290°
W 39.375000°		 ← 54.719 km →
3 020.46 km²		 S 45.583290°
W 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3916015625 y=0.6416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3916015625 × 29)
    floor (0.3916015625 × 512)
    floor (200.5)     		tx = 200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6416015625 × 29)
    floor (0.6416015625 × 512)
    floor (328.5)     		ty = 328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 200 / 328 ti = "9/200/328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/200/328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 200 ÷ 29
    200 ÷ 512     		x = 0.390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 328 ÷ 29
    328 ÷ 512     		y = 0.640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.390625 × 2 - 1) × π
    -0.21875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68722339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640625 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68722339} λ = -0.68722339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883572933796875))-π/2
    2×atan(0.413303564177177)-π/2
    2×0.391922099828802-π/2
    0.783844199657604-1.57079632675     		φ = -0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68722339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.375000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 200 KachelY 328 -0.68722339 -0.78695213 -39.375000 -45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 201 KachelY 328 -0.67495155 -0.78695213 -38.671875 -45.089036
    Unten links KachelX 200 KachelY + 1 329 -0.68722339 -0.79557849 -39.375000 -45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 201 KachelY + 1 329 -0.67495155 -0.79557849 -38.671875 -45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78695213--0.79557849) × R
    0.00862636000000006 × 6371000     		dl = 54958.5395600004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78695213--0.79557849) × R
    0.00862636000000006 × 6371000     		dr = 54958.5395600004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68722339--0.67495155) × cos(-0.78695213) × R
    0.01227184 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 55198.383899103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68722339--0.67495155) × cos(-0.79557849) × R
    0.01227184 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 54718.6927546733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78695213)-sin(-0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.699871685931871)×R²
    abs(-0.67495155--0.68722339)×0.0061354216096462×R²
    0.01227184×0.0061354216096462×6371000²
    0.01227184×0.0061354216096462×40589641000000     		ar = 3020459733.21737m²