Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 200 / 456
↖ ↑ ↗
← N 19.311143°
W109.687500°		 ← 36.893 km → N 19.311143°
W109.335937°		 →
↑
36.930 km
↓
↑
36.930 km
↓
N 18.979026°
W109.687500°		 ← 36.967 km →
1 363.81 km²		 N 18.979026°
W109.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.19580078125 y=0.44580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.19580078125 × 210)
    floor (0.19580078125 × 1024)
    floor (200.5)     		tx = 200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44580078125 × 210)
    floor (0.44580078125 × 1024)
    floor (456.5)     		ty = 456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 200 / 456 ti = "10/200/456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/200/456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 200 ÷ 210
    200 ÷ 1024     		x = 0.1953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 456 ÷ 210
    456 ÷ 1024     		y = 0.4453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1953125 × 2 - 1) × π
    -0.609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4453125 × 2 - 1) × π
    0.109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.343611696476563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91440802} λ = -1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.343611696476563))-π/2
    2×atan(1.41003100918292)-π/2
    2×0.953919680328065-π/2
    1.90783936065613-1.57079632675     		φ = 0.33704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.311143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 200 KachelY 456 -1.91440802 0.33704303 -109.687500 19.311143
    Oben rechts KachelX + 1 201 KachelY 456 -1.90827210 0.33704303 -109.335937 19.311143
    Unten links KachelX 200 KachelY + 1 457 -1.91440802 0.33124649 -109.687500 18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 201 KachelY + 1 457 -1.90827210 0.33124649 -109.335937 18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33704303-0.33124649) × R
    0.00579654000000002 × 6371000     		dl = 36929.7563400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33704303-0.33124649) × R
    0.00579654000000002 × 6371000     		dr = 36929.7563400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91440802--1.90827210) × cos(0.33704303) × R
    0.00613591999999996 × 0.94373665385257 × 6371000     		do = 36892.5026126209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91440802--1.90827210) × cos(0.33124649) × R
    0.00613591999999996 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 36966.8179050897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33704303)-sin(0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94373665385257-0.945637692287967)×R²
    abs(-1.90827210--1.91440802)×0.0019010384353968×R²
    0.00613591999999996×0.0019010384353968×6371000²
    0.00613591999999996×0.0019010384353968×40589641000000     		ar = 1363807173.72663m²