Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2000 / 2256
↖ ↑ ↗
← S 17.978733°
W  4.218750°		 ← 9 295.78 m → S 17.978733°
W  4.130860°		 →
↑
9 293.57 m
↓
↑
9 293.57 m
↓
S 18.062312°
W  4.218750°		 ← 9 291.37 m →
86 370 520 m²		 S 18.062312°
W  4.130860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4884033203125 y=0.5509033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4884033203125 × 212)
    floor (0.4884033203125 × 4096)
    floor (2000.5)     		tx = 2000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5509033203125 × 212)
    floor (0.5509033203125 × 4096)
    floor (2256.5)     		ty = 2256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2000 / 2256 ti = "12/2000/2256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2000/2256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2000 ÷ 212
    2000 ÷ 4096     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2256 ÷ 212
    2256 ÷ 4096     		y = 0.55078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55078125 × 2 - 1) × π
    -0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319068003871094))-π/2
    2×atan(0.726826120635872)-π/2
    2×0.628504119474422-π/2
    1.25700823894884-1.57079632675     		φ = -0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2000 KachelY 2256 -0.07363108 -0.31378809 -4.218750 -17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 2001 KachelY 2256 -0.07209710 -0.31378809 -4.130860 -17.978733
    Unten links KachelX 2000 KachelY + 1 2257 -0.07363108 -0.31524682 -4.218750 -18.062312
    Unten rechts KachelX + 1 2001 KachelY + 1 2257 -0.07209710 -0.31524682 -4.130860 -18.062312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31378809--0.31524682) × R
    0.00145872999999996 × 6371000     		dl = 9293.56882999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31378809--0.31524682) × R
    0.00145872999999996 × 6371000     		dr = 9293.56882999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.07209710) × cos(-0.31378809) × R
    0.00153398 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 9295.78288689403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.07209710) × cos(-0.31524682) × R
    0.00153398 × 0.95071988105209 × 6371000     		du = 9291.3726388613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31378809)-sin(-0.31524682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.95071988105209)×R²
    abs(-0.07209710--0.07363108)×0.000451269220174577×R²
    0.00153398×0.000451269220174577×6371000²
    0.00153398×0.000451269220174577×40589641000000     		ar = 86370519.931863m²