Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 201 / 199
↖ ↑ ↗
← S 70.140365°
E102.656250°		 ← 53.121 km → S 70.140365°
E104.062500°		 →
↑
52.512 km
↓
↑
52.512 km
↓
S 70.612614°
E102.656250°		 ← 51.907 km →
2 757.61 km²		 S 70.612614°
E104.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.787109375 y=0.779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.787109375 × 28)
    floor (0.787109375 × 256)
    floor (201.5)     		tx = 201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779296875 × 28)
    floor (0.779296875 × 256)
    floor (199.5)     		ty = 199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 201 / 199 ti = "8/201/199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/201/199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 201 ÷ 28
    201 ÷ 256     		x = 0.78515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 199 ÷ 28
    199 ÷ 256     		y = 0.77734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78515625 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79168956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77734375 × 2 - 1) × π
    -0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79168956} λ = 1.79168956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74260217498828))-π/2
    2×atan(0.175064259557396)-π/2
    2×0.173308015857985-π/2
    0.34661603171597-1.57079632675     		φ = -1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79168956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 201 KachelY 199 1.79168956 -1.22418030 102.656250 -70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 202 KachelY 199 1.81623325 -1.22418030 104.062500 -70.140365
    Unten links KachelX 201 KachelY + 1 200 1.79168956 -1.23242261 102.656250 -70.612614
    Unten rechts KachelX + 1 202 KachelY + 1 200 1.81623325 -1.23242261 104.062500 -70.612614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22418030--1.23242261) × R
    0.00824230999999997 × 6371000     		dl = 52511.7570099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22418030--1.23242261) × R
    0.00824230999999997 × 6371000     		dr = 52511.7570099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79168956-1.81623325) × cos(-1.22418030) × R
    0.02454369 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 53120.8225169951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79168956-1.81623325) × cos(-1.23242261) × R
    0.02454369 × 0.331953465734817 × 6371000     		du = 51906.849401729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22418030)-sin(-1.23242261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.331953465734817)×R²
    abs(1.81623325-1.79168956)×0.0077635723910468×R²
    0.02454369×0.0077635723910468×6371000²
    0.02454369×0.0077635723910468×40589641000000     		ar = 2757609405.2499m²