Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 201 / 313
↖ ↑ ↗
← S 37.160316°
W 38.671875°		 ← 62.309 km → S 37.160316°
W 37.968750°		 →
↑
62.077 km
↓
↑
62.077 km
↓
S 37.718590°
W 38.671875°		 ← 61.845 km →
3 853.60 km²		 S 37.718590°
W 37.968750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3935546875 y=0.6123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3935546875 × 29)
    floor (0.3935546875 × 512)
    floor (201.5)     		tx = 201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6123046875 × 29)
    floor (0.6123046875 × 512)
    floor (313.5)     		ty = 313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 201 / 313 ti = "9/201/313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/201/313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 201 ÷ 29
    201 ÷ 512     		x = 0.392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 313 ÷ 29
    313 ÷ 512     		y = 0.611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392578125 × 2 - 1) × π
    -0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.611328125 × 2 - 1) × π
    -0.22265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.699495239255859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67495155} λ = -0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.699495239255859))-π/2
    2×atan(0.496836023830374)-π/2
    2×0.461113225993472-π/2
    0.922226451986944-1.57079632675     		φ = -0.64856987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64856987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.160316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 201 KachelY 313 -0.67495155 -0.64856987 -38.671875 -37.160316
    Oben rechts KachelX + 1 202 KachelY 313 -0.66267970 -0.64856987 -37.968750 -37.160316
    Unten links KachelX 201 KachelY + 1 314 -0.67495155 -0.65831359 -38.671875 -37.718590
    Unten rechts KachelX + 1 202 KachelY + 1 314 -0.66267970 -0.65831359 -37.968750 -37.718590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64856987--0.65831359) × R
    0.00974372000000001 × 6371000     		dl = 62077.2401200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64856987--0.65831359) × R
    0.00974372000000001 × 6371000     		dr = 62077.2401200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67495155--0.66267970) × cos(-0.64856987) × R
    0.01227185 × 0.796948479384723 × 6371000     		do = 62308.5851254139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67495155--0.66267970) × cos(-0.65831359) × R
    0.01227185 × 0.791025074037336 × 6371000     		du = 61845.4698602905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64856987)-sin(-0.65831359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.796948479384723-0.791025074037336)×R²
    abs(-0.66267970--0.67495155)×0.00592340534738611×R²
    0.01227185×0.00592340534738611×6371000²
    0.01227185×0.00592340534738611×40589641000000     		ar = 3853601030.09024m²