Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2024 / 2152
↖ ↑ ↗
← S  9.102097°
W  2.109375°		 ← 9 649.93 m → S  9.102097°
W  2.021484°		 →
↑
9 648.75 m
↓
↑
9 648.75 m
↓
S  9.188870°
W  2.109375°		 ← 9 647.57 m →
93 098 405 m²		 S  9.188870°
W  2.021484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4942626953125 y=0.5255126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4942626953125 × 212)
    floor (0.4942626953125 × 4096)
    floor (2024.5)     		tx = 2024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5255126953125 × 212)
    floor (0.5255126953125 × 4096)
    floor (2152.5)     		ty = 2152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2024 / 2152 ti = "12/2024/2152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2024/2152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2024 ÷ 212
    2024 ÷ 4096     		x = 0.494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2152 ÷ 212
    2152 ÷ 4096     		y = 0.525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.494140625 × 2 - 1) × π
    -0.01171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.03681554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.525390625 × 2 - 1) × π
    -0.05078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.159534001935547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.03681554} λ = -0.03681554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.159534001935547))-π/2
    2×atan(0.852540978860179)-π/2
    2×0.705967384936792-π/2
    1.41193476987358-1.57079632675     		φ = -0.15886156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.03681554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.109375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15886156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.102097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2024 KachelY 2152 -0.03681554 -0.15886156 -2.109375 -9.102097
    Oben rechts KachelX + 1 2025 KachelY 2152 -0.03528156 -0.15886156 -2.021484 -9.102097
    Unten links KachelX 2024 KachelY + 1 2153 -0.03681554 -0.16037604 -2.109375 -9.188870
    Unten rechts KachelX + 1 2025 KachelY + 1 2153 -0.03528156 -0.16037604 -2.021484 -9.188870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15886156--0.16037604) × R
    0.00151447999999998 × 6371000     		dl = 9648.7520799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15886156--0.16037604) × R
    0.00151447999999998 × 6371000     		dr = 9648.7520799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.03681554--0.03528156) × cos(-0.15886156) × R
    0.00153398 × 0.987408017809851 × 6371000     		do = 9649.9253070401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.03681554--0.03528156) × cos(-0.16037604) × R
    0.00153398 × 0.987167303558654 × 6371000     		du = 9647.57280989353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15886156)-sin(-0.16037604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987408017809851-0.987167303558654)×R²
    abs(-0.03528156--0.03681554)×0.000240714251197205×R²
    0.00153398×0.000240714251197205×6371000²
    0.00153398×0.000240714251197205×40589641000000     		ar = 93098405.3418739m²