Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20288 / 3904
↖ ↑ ↗
← N 79.560546°
E 42.890625°		 ← 221.36 m → N 79.560546°
E 42.901611°		 →
↑
221.39 m
↓
↑
221.39 m
↓
N 79.558555°
E 42.890625°		 ← 221.40 m →
49 011 m²		 N 79.558555°
E 42.901611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.619155883789062 y=0.119155883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.619155883789062 × 215)
    floor (0.619155883789062 × 32768)
    floor (20288.5)     		tx = 20288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119155883789062 × 215)
    floor (0.119155883789062 × 32768)
    floor (3904.5)     		ty = 3904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20288 / 3904 ti = "15/20288/3904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20288/3904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20288 ÷ 215
    20288 ÷ 32768     		x = 0.619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3904 ÷ 215
    3904 ÷ 32768     		y = 0.119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.619140625 × 2 - 1) × π
    0.23828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.74858262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119140625 × 2 - 1) × π
    0.76171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3930100290332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.74858262} λ = 0.74858262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3930100290332))-π/2
    2×atan(10.9463933659334)-π/2
    2×1.47969490688523-π/2
    2.95938981377045-1.57079632675     		φ = 1.38859349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.74858262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 42.890625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38859349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.560546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20288 KachelY 3904 0.74858262 1.38859349 42.890625 79.560546
    Oben rechts KachelX + 1 20289 KachelY 3904 0.74877437 1.38859349 42.901611 79.560546
    Unten links KachelX 20288 KachelY + 1 3905 0.74858262 1.38855874 42.890625 79.558555
    Unten rechts KachelX + 1 20289 KachelY + 1 3905 0.74877437 1.38855874 42.901611 79.558555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38859349-1.38855874) × R
    3.47500000001943e-05 × 6371000     		dl = 221.392250001238m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38859349-1.38855874) × R
    3.47500000001943e-05 × 6371000     		dr = 221.392250001238m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.74858262-0.74877437) × cos(1.38859349) × R
    0.000191750000000046 × 0.181196384390541 × 6371000     		do = 221.356615129625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.74858262-0.74877437) × cos(1.38855874) × R
    0.000191750000000046 × 0.181230559062058 × 6371000     		du = 221.398364249706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38859349)-sin(1.38855874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181196384390541-0.181230559062058)×R²
    abs(0.74877437-0.74858262)×3.4174671516618e-05×R²
    0.000191750000000046×3.4174671516618e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.4174671516618e-05×40589641000000     		ar = 49011.2605469273m²