Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 203 / 324
↖ ↑ ↗
← S 43.068888°
W 37.265625°		 ← 57.116 km → S 43.068888°
W 36.562500°		 →
↑
56.877 km
↓
↑
56.877 km
↓
S 43.580391°
W 37.265625°		 ← 56.637 km →
3 234.96 km²		 S 43.580391°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3974609375 y=0.6337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3974609375 × 29)
    floor (0.3974609375 × 512)
    floor (203.5)     		tx = 203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6337890625 × 29)
    floor (0.6337890625 × 512)
    floor (324.5)     		ty = 324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 203 / 324 ti = "9/203/324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/203/324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 203 ÷ 29
    203 ÷ 512     		x = 0.396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 324 ÷ 29
    324 ÷ 512     		y = 0.6328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.396484375 × 2 - 1) × π
    -0.20703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.65040785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6328125 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65040785} λ = -0.65040785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.834485548585937))-π/2
    2×atan(0.434097746198003)-π/2
    2×0.409551214990565-π/2
    0.819102429981129-1.57079632675     		φ = -0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65040785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 203 KachelY 324 -0.65040785 -0.75169390 -37.265625 -43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 204 KachelY 324 -0.63813601 -0.75169390 -36.562500 -43.068888
    Unten links KachelX 203 KachelY + 1 325 -0.65040785 -0.76062131 -37.265625 -43.580391
    Unten rechts KachelX + 1 204 KachelY + 1 325 -0.63813601 -0.76062131 -36.562500 -43.580391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75169390--0.76062131) × R
    0.00892740999999997 × 6371000     		dl = 56876.5291099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75169390--0.76062131) × R
    0.00892740999999997 × 6371000     		dr = 56876.5291099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65040785--0.63813601) × cos(-0.75169390) × R
    0.01227184 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 57115.9286387593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65040785--0.63813601) × cos(-0.76062131) × R
    0.01227184 × 0.724407837082572 × 6371000     		du = 56637.0245620386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75169390)-sin(-0.76062131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.724407837082572)×R²
    abs(-0.63813601--0.65040785)×0.00612535473164333×R²
    0.01227184×0.00612535473164333×6371000²
    0.01227184×0.00612535473164333×40589641000000     		ar = 3234958062.21438m²