Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2032 / 2096
↖ ↑ ↗
← S  4.214943°
W  1.406250°		 ← 9 746.55 m → S  4.214943°
W  1.318359°		 →
↑
9 745.97 m
↓
↑
9 745.97 m
↓
S  4.302591°
W  1.406250°		 ← 9 745.44 m →
94 984 266 m²		 S  4.302591°
W  1.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4962158203125 y=0.5118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4962158203125 × 212)
    floor (0.4962158203125 × 4096)
    floor (2032.5)     		tx = 2032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5118408203125 × 212)
    floor (0.5118408203125 × 4096)
    floor (2096.5)     		ty = 2096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2032 / 2096 ti = "12/2032/2096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2032/2096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2032 ÷ 212
    2032 ÷ 4096     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2096 ÷ 212
    2096 ÷ 4096     		y = 0.51171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.51171875 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0736310778164063))-π/2
    2×atan(0.929014364635963)-π/2
    2×0.748615845597688-π/2
    1.49723169119538-1.57079632675     		φ = -0.07356464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.07356464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -4.214943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2032 KachelY 2096 -0.02454369 -0.07356464 -1.406250 -4.214943
    Oben rechts KachelX + 1 2033 KachelY 2096 -0.02300971 -0.07356464 -1.318359 -4.214943
    Unten links KachelX 2032 KachelY + 1 2097 -0.02454369 -0.07509438 -1.406250 -4.302591
    Unten rechts KachelX + 1 2033 KachelY + 1 2097 -0.02300971 -0.07509438 -1.318359 -4.302591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.07356464--0.07509438) × R
    0.00152974 × 6371000     		dl = 9745.97354000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.07356464--0.07509438) × R
    0.00152974 × 6371000     		dr = 9745.97354000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02300971) × cos(-0.07356464) × R
    0.00153398 × 0.9972953419468 × 6371000     		do = 9746.55399314259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02300971) × cos(-0.07509438) × R
    0.00153398 × 0.997181741805174 × 6371000     		du = 9745.44378048299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.07356464)-sin(-0.07509438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9972953419468-0.997181741805174)×R²
    abs(-0.02300971--0.02454369)×0.000113600141626202×R²
    0.00153398×0.000113600141626202×6371000²
    0.00153398×0.000113600141626202×40589641000000     		ar = 94984265.794506m²