Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2032 / 2160
↖ ↑ ↗
← S  9.795678°
W  1.406250°		 ← 9 630.50 m → S  9.795678°
W  1.318359°		 →
↑
9 629.19 m
↓
↑
9 629.19 m
↓
S  9.882275°
W  1.406250°		 ← 9 627.98 m →
92 721 844 m²		 S  9.882275°
W  1.318359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4962158203125 y=0.5274658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4962158203125 × 212)
    floor (0.4962158203125 × 4096)
    floor (2032.5)     		tx = 2032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5274658203125 × 212)
    floor (0.5274658203125 × 4096)
    floor (2160.5)     		ty = 2160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2032 / 2160 ti = "12/2032/2160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2032/2160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2032 ÷ 212
    2032 ÷ 4096     		x = 0.49609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2160 ÷ 212
    2160 ÷ 4096     		y = 0.52734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49609375 × 2 - 1) × π
    -0.0078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.02454369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52734375 × 2 - 1) × π
    -0.0546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.171805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02454369} λ = -0.02454369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.171805848238281))-π/2
    2×atan(0.842142660778491)-π/2
    2×0.699914750257779-π/2
    1.39982950051556-1.57079632675     		φ = -0.17096683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02454369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17096683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.795678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2032 KachelY 2160 -0.02454369 -0.17096683 -1.406250 -9.795678
    Oben rechts KachelX + 1 2033 KachelY 2160 -0.02300971 -0.17096683 -1.318359 -9.795678
    Unten links KachelX 2032 KachelY + 1 2161 -0.02454369 -0.17247824 -1.406250 -9.882275
    Unten rechts KachelX + 1 2033 KachelY + 1 2161 -0.02300971 -0.17247824 -1.318359 -9.882275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17096683--0.17247824) × R
    0.00151141000000002 × 6371000     		dl = 9629.19311000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17096683--0.17247824) × R
    0.00151141000000002 × 6371000     		dr = 9629.19311000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02454369--0.02300971) × cos(-0.17096683) × R
    0.00153398 × 0.9854207357218 × 6371000     		do = 9630.50362586289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02454369--0.02300971) × cos(-0.17247824) × R
    0.00153398 × 0.985162466305611 × 6371000     		du = 9627.97956232444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17096683)-sin(-0.17247824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9854207357218-0.985162466305611)×R²
    abs(-0.02300971--0.02454369)×0.000258269416189338×R²
    0.00153398×0.000258269416189338×6371000²
    0.00153398×0.000258269416189338×40589641000000     		ar = 92721844.4632133m²