Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2034 / 2066
↖ ↑ ↗
← S  1.581830°
W  1.230469°		 ← 9 769.26 m → S  1.581830°
W  1.142578°		 →
↑
9 769.04 m
↓
↑
9 769.04 m
↓
S  1.669686°
W  1.230469°		 ← 9 768.84 m →
95 434 222 m²		 S  1.669686°
W  1.142578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4967041015625 y=0.5045166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4967041015625 × 212)
    floor (0.4967041015625 × 4096)
    floor (2034.5)     		tx = 2034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5045166015625 × 212)
    floor (0.5045166015625 × 4096)
    floor (2066.5)     		ty = 2066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2034 / 2066 ti = "12/2034/2066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2034/2066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2034 ÷ 212
    2034 ÷ 4096     		x = 0.49658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2066 ÷ 212
    2066 ÷ 4096     		y = 0.50439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49658203125 × 2 - 1) × π
    -0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50439453125 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02147573} λ = -0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0276116541811523))-π/2
    2×atan(0.972766063091431)-π/2
    2×0.771594090240941-π/2
    1.54318818048188-1.57079632675     		φ = -0.02760815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.02760815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -1.581830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2034 KachelY 2066 -0.02147573 -0.02760815 -1.230469 -1.581830
    Oben rechts KachelX + 1 2035 KachelY 2066 -0.01994175 -0.02760815 -1.142578 -1.581830
    Unten links KachelX 2034 KachelY + 1 2067 -0.02147573 -0.02914151 -1.230469 -1.669686
    Unten rechts KachelX + 1 2035 KachelY + 1 2067 -0.01994175 -0.02914151 -1.142578 -1.669686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.02760815--0.02914151) × R
    0.00153336 × 6371000     		dl = 9769.03655999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.02760815--0.02914151) × R
    0.00153336 × 6371000     		dr = 9769.03655999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02147573--0.01994175) × cos(-0.02760815) × R
    0.00153398 × 0.999618919233007 × 6371000     		do = 9769.26228277827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02147573--0.01994175) × cos(-0.02914151) × R
    0.00153398 × 0.99957541624609 × 6371000     		du = 9768.83712867093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.02760815)-sin(-0.02914151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999618919233007-0.99957541624609)×R²
    abs(-0.01994175--0.02147573)×4.35029869175763e-05×R²
    0.00153398×4.35029869175763e-05×6371000²
    0.00153398×4.35029869175763e-05×40589641000000     		ar = 95434222.4303702m²